Verifique se as funções são solução da equação de calor
f(x, t)=e^-eta^2 c^2 t sin (eta t)

Passo 1

Temos a equação de calor unidimensional
partial upartial t = c^2,partial^2upartial x^2
e a função proposta
f(x,t) = e^-eta^2c^2t,sin(eta t)
Para verificar se f é solução, precisamos calcular partial fpartial t e partial^2fpartial x^2 e checar se satisfazem a PDE.

Passo 2

Calculemos a derivada parcial de f em relação a t. Como
f(x,t)=e^-eta^2c^2t,sin(eta t),
usamos produto e cadeia:
partial fpartial t = ddtl(e^-eta^2c^2tr),sin(eta t) + e^-eta^2c^2t,ddtl(sin(eta t)r)
Logo,
partial fpartial t = l(-eta^2c^2e^-eta^2c^2tr)sin(eta t) + e^-eta^2c^2t,etacos(eta t)
partial fpartial t = e^-eta^2c^2t,l(-eta^2c^2sin(eta t)+etacos(eta t)r)

Passo 3

Calculemos agora a derivada segunda em x. Como f(x,t) não depende de x, temos
partial fpartial x=0 Longrightarrow partial^2fpartial x^2=0

Passo 4

Para ser solução da equação de calor precisamos de
partial fpartial t ;=; c^2,partial^2fpartial x^2 ;=; c^2cdot 0 ;=;0
Mas da expressão de partial fpartial t vemos que, em geral,
partial fpartial t = e^-eta^2c^2t,l(-eta^2c^2sin(eta t)+etacos(eta t)r) neq 0
Portanto a igualdade não se satisfaz.

Resposta

A função f(x,t)=e^-eta^2c^2t,sin(eta t) não é solução da equação de calor.

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