Dizemos que uma matriz quadrada
é ortogonal se
é invertível e
.
(a) Determine, se possível,
e y em
tais que a matriz
seja ortogonal.
(b) Prove que o produto de duas matrizes ortogonais é ortogonal.
(a) Determine, se possível,
(b) Prove que o produto de duas matrizes ortogonais é ortogonal.
Passo 1
O enunciado quer duas coisas sobre matrizes ortogonais. Primeiro, na parte (a) precisamos achar
tais que
satisfaça
. Segundamente, na parte (b) devemos mostrar que o produto de duas matrizes ortogonais é ortogonal. Para (a) vamos usar a condição equivalente
Passo 2
Calculemos primeiro
Em seguida
Passo 3
Para que
precisamos igualar cada entrada à identidade:
As duas primeiras geram
que não têm solução real. A terceira viria a ser
, mas já não há
que satisfaçam as duas primeiras.
Passo 4
Concluímos que não existem
fazendo
ortogonal, pois as equações de normalização exigem quadrados negativos.
Passo 5
Sejam
e
duas matrizes ortogonais, ou seja
Então o inverso do produto é
mostrando que
é invertível e seu inverso é seu transposto. Logo
também é ortogonal.
Resposta
(a) Não existem
que tornem a matriz dada ortogonal.
(b) Se e
são ortogonais, então
, logo o produto é ortogonal.
(b) Se