Dizemos que uma matriz quadrada A é ortogonal se A é invertível e A^-1=A^t.
(a) Determine, se possível, x e y em R tais que a matriz
[rr raiz2 & x y & raiz2 ]
seja ortogonal.
(b) Prove que o produto de duas matrizes ortogonais é ortogonal.

Passo 1

O enunciado quer duas coisas sobre matrizes ortogonais. Primeiro, na parte (a) precisamos achar tais que
satisfaça . Segundamente, na parte (b) devemos mostrar que o produto de duas matrizes ortogonais é ortogonal. Para (a) vamos usar a condição equivalente

Passo 2

Calculemos primeiro
Em seguida

Passo 3

Para que A^tA=I precisamos igualar cada entrada à identidade:
2+y^2=1, x^2+2=1, raiz2(x+y)=0
As duas primeiras geram
y^2=-1, x^2=-1,
que não têm solução real. A terceira viria a ser x+y=0, mas já não há ,x,yinR que satisfaçam as duas primeiras.

Passo 4

Concluímos que não existem x,yinR fazendo A ortogonal, pois as equações de normalização exigem quadrados negativos.

Passo 5

Sejam Q1 e Q2 duas matrizes ortogonais, ou seja
Q1^-1=Q1^t, Q2^-1=Q2^t
Então o inverso do produto é
(Q1Q2)^-1 =Q2^-1,Q1^-1 =Q2^t,Q1^t =(Q1Q2)^t,
mostrando que Q1Q2 é invertível e seu inverso é seu transposto. Logo Q1Q2 também é ortogonal.

Resposta

(a) Não existem x,yinR que tornem a matriz dada ortogonal.
(b) Se Q1 e Q2 são ortogonais, então (Q1Q2)^-1=(Q1Q2)^t, logo o produto é ortogonal.

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