Determine se a série é convergente ou divergente, utilizando os testes de convergéncia de séries numéricas.
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada
. O conteúdo envolvido é o teste de séries alternadas (Critério de Leibniz) e teste de convergência absoluta para séries numéricas.
Passo 2
Definimos o termo positivo
. Primeiro, checamos o limite de
quando
. Observe que
Passo 3
Agora, precisamos mostrar que
é decrescente para
suficientemente grande. Considere a função
para
. Calculando a derivada:
Passo 4
Para
, temos
, de modo que
. Logo,
é decrescente para
.
Passo 5
Como
,
decresce e
, pelo Critério de Leibniz a série alternada converge.
Passo 6
Por fim, analisamos a convergência absoluta:
Passo 7
Para grandes
,
, e sabemos que
diverge (série harmônica). Pelo Teste da Comparação Limitante ou por comparação assintótica,
também diverge.
Passo 8
Como a série converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente, concluímos que ela converge condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente.