Determine se a série é convergente ou divergente, utilizando os testes de convergéncia de séries numéricas.
sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+1.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternada sumn=1^infty(-1)^n+1n^2n^3+1. O conteúdo envolvido é o teste de séries alternadas (Critério de Leibniz) e teste de convergência absoluta para séries numéricas.

Passo 2

Definimos o termo positivo bn=dfracn^2n^3+1. Primeiro, checamos o limite de bn quando ntoinfty. Observe que
limntoinftybn=limntoinftyn^2n^3+1=limntoinfty1n+1/n^2=0

Passo 3

Agora, precisamos mostrar que bn é decrescente para n suficientemente grande. Considere a função f(x)=x^2x^3+1 para x>0. Calculando a derivada:
f'(x)=2x(x^3+1)-x^2cdot3x^2(x^3+1)^2=2x^4+2x-3x^4(x^3+1)^2=-x^4+2x(x^3+1)^2

Passo 4

Para x>=1, temos -x^4+2x<0, de modo que f'(x)<0. Logo, bn=f(n) é decrescente para n>=1.

Passo 5

Como bn>0, bn decresce e lim bn=0, pelo Critério de Leibniz a série alternada converge.

Passo 6

Por fim, analisamos a convergência absoluta:
sumn=1^infty|(-1)^n+1bn|=sumn=1^infty bn=sumn=1^inftyn^2n^3+1

Passo 7

Para grandes n, n^2/(n^3+1)sim1/n, e sabemos que sum1/n diverge (série harmônica). Pelo Teste da Comparação Limitante ou por comparação assintótica, sum bn também diverge.

Passo 8

Como a série converge pelo critério de Leibniz, mas não converge absolutamente, concluímos que ela converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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