A função f(x) definida por x^2-1x-1 para x neq 1 e 2 x para x=1 é continua em x
a. sim
b. Não, pois f(1) não está definida.
c. Não, pois f(1) é diferente de lim x 1 f(x)
d. Não, pois lim x 1 f(x) não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre continuidade de uma função f(x) definida de duas maneiras: x^2-1x-1 para qualquer x que não seja 1 e 2x quando x é igual a 1. Nosso objetivo é descobrir se essa função é contínua em x = 1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa continuidade. Uma função é contínua em um ponto a se três condições forem atendidas:
  1. A função está definida em a (ou seja, f(a) existe).
  2. O limite da função quando x se aproxima de a existe.
  3. O valor da função em a é igual ao limite quando x se aproxima de a.

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para x = 1.
1. A função está definida em 1?
Sim, porque f(1) = 2 times 1 = 2.
2. O limite da função quando x se aproxima de 1 existe?
Para encontrar o limite, observamos a expressão para x neq 1: x^2-1x-1. Podemos simplificar essa fração:
x^2-1x-1 = (x-1)(x+1)x-1 = x + 1 (desde que x neq 1).
Então, o limite quando x se aproxima de 1 é:
limx to 1 f(x) = limx to 1 (x + 1) = 2.
3. O valor da função em 1 é igual ao limite?
Sim, f(1) = 2 e o limite também é 2.

Passo 4

Agora, vamos comparar com as alternativas:
a. Sim - Parece correto, pois todas as condições de continuidade são atendidas.
b. Não, pois f(1) não está definida - Errado, já que f(1) está definida como 2.
c. Não, pois f(1) é diferente de lim x 1 f(x) - Errado, porque f(1) é igual ao limite, ambos são 2.
d. Não, pois lim x 1 f(x) não existe - Errado, o limite existe e é igual a 2.

Resposta

a. sim

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