A função
definida por
para
e
para
é continua em
a.
b. Não, pois
não está definida.
c. Não, pois
é diferente de
d. Não, pois
não existe.
a.
b. Não, pois
c. Não, pois
d. Não, pois
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre continuidade de uma função
definida de duas maneiras:
para qualquer
que não seja 1 e
quando
é igual a 1. Nosso objetivo é descobrir se essa função é contínua em
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa continuidade. Uma função é contínua em um ponto
se três condições forem atendidas:
- A função está definida em
(ou seja, existe). - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O valor da função em
é igual ao limite quando se aproxima de .
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
1. A função está definida em 1?
Sim, porque .
Sim, porque
2. O limite da função quando
se aproxima de 1 existe?
Para encontrar o limite, observamos a expressão para :
. Podemos simplificar essa fração:
Para encontrar o limite, observamos a expressão para
Então, o limite quando
se aproxima de 1 é:
3. O valor da função em 1 é igual ao limite?
Sim, e o limite também é 2.
Sim,
Passo 4
Agora, vamos comparar com as alternativas:
a. Sim - Parece correto, pois todas as condições de continuidade são atendidas.
b. Não, pois
não está definida - Errado, já que
está definida como
.
c. Não, pois
é diferente de
- Errado, porque
é igual ao limite, ambos são 2.
d. Não, pois
não existe - Errado, o limite existe e é igual a 2.
Resposta
a.