Dizemos que um subconjunto é simplesmente conexo, quando é conexo por caminho e toda curva fechada e contínua em pode ser deformada continuamente a um ponto de sem sair de . Verique quais conjuntos são simplesmente conexo:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é simplesmente conexo, ou seja, (i) se ele é conexo por caminhos e (ii) se toda curva fechada em pode ser deformada continuamente a um ponto sem sair de .
Passo 2
Para ver que é conexo por caminho, tomemos quaisquer dois pontos . Se o segmento retilíneo não passa pela origem, então ele já é um caminho em Omega. Se pq passar por (0,0), basta “desviar” criando um arco de circunferência que rodeie a origem por fora, por exemplo unindo p a um ponto r num semicírculo de raio min|p|,|q| e depois indo de r a q. Essa construção fornece sempre um caminho contínuo em Omega ligando p a q.
Passo 3
Considere a curva fechada
gammacolon [0,1]to Omega ,
gamma(t)=(cos(2pi t),sin(2pi t)) .
Ela circula exatamente uma vez em torno da origem. Se existisse uma homotopia Hcolon[0,1]times[0,1]to Omega que contrai gamma a um ponto, o caminho contínuo H(s,t) teria de atravessar (0,0) em algum instante (pois a ``volta'' só desaparece passando pelo buraco), o que contradiz H(s,t)in Omega. Logo, gamma não pode ser deformada a um ponto em Omega.