Dizemos que um subconjunto Omega subset R^n é simplesmente conexo, quando Omega é conexo por caminho e toda curva fechada e contínua em Omega pode ser deformada continuamente a um ponto de Omega sem sair de Omega. Verique quais conjuntos são simplesmente conexo:
R^2-(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
Omega = R^2 setminus (0,0)
é simplesmente conexo, ou seja, (i) se ele é conexo por caminhos e (ii) se toda curva fechada em Omega pode ser deformada continuamente a um ponto sem sair de Omega.

Passo 2

Para ver que Omega é conexo por caminho, tomemos quaisquer dois pontos p,qin Omega. Se o segmento retilíneo pq não passa pela origem, então ele já é um caminho em Omega. Se pq passar por (0,0), basta “desviar” criando um arco de circunferência que rodeie a origem por fora, por exemplo unindo p a um ponto r num semicírculo de raio min|p|,|q| e depois indo de r a q. Essa construção fornece sempre um caminho contínuo em Omega ligando p a q.

Passo 3

Considere a curva fechada
gammacolon [0,1]to Omega ,
gamma(t)=(cos(2pi t),sin(2pi t)) .
Ela circula exatamente uma vez em torno da origem. Se existisse uma homotopia Hcolon[0,1]times[0,1]to Omega que contrai gamma a um ponto, o caminho contínuo H(s,t) teria de atravessar (0,0) em algum instante (pois a ``volta'' só desaparece passando pelo buraco), o que contradiz H(s,t)in Omega. Logo, gamma não pode ser deformada a um ponto em Omega.

Resposta

R^2setminus(0,0) não é simplesmente conexo.

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