Questão 4 Considere uma função que tenha as seguintes características:
Domínio:
a) Faça um possível gráfico de .
b) Fale sobre a continuidade da função em e , justificando sua resposta.

Passo 1

O enunciado fornece limites laterais em x=-5,0,5, limites no infinito, valores de f em -5,0,5 e pede (a) um esboço gráfico compatível e (b) discutir continuidade em x=-5,0,5. Para isso vamos usar interpretação de limites, assíntotas e o conceito de continuidade (limite igual a valor da função).

Passo 2

Construção do gráfico:
Para xto-infty temos f(x)to1: assíntota horizontal y=1.
Em x=-5: limite pela esquerda limxto-5^-f(x)=-3 e pela direita limxto-5^+f(x)=5, mas f(-5)=0. Então
– Para x<-5 desenhe uma curva suave que parte de perto de y=1 em -infty e desce até o ponto (-5,-3) (círculo aberto).
– Em x=-5 marque ponto isolado em (-5,0).
– Para -5<x<0 faça uma curva que sai de (xto-5^+,yto5) e cresce até +infty quando xto0^-.
Em x=0: há assíntota vertical x=0 (limite +infty), e ponto isolado em (0,2).
Para 0<x<5 a curva sai de +infty em xto0^+ e decresce até (5,3) em xto5^-.
Em x=5 temos f(5)=3 que coincide com o limite lateral, e para x>5 a curva sai de 3 em x=5 e cresce sem limite até +infty quando xto+infty.

Passo 3

Em x=-5:
limxto-5^-f(x)=-3neqlimxto-5^+f(x)=5, logo limxto-5f(x) não existe. Portanto f não é contínua em -5.

Passo 4

Em x=0:
limxto0f(x)=+infty (não finito) e f(0)=2, logo não há continuidade em 0.

Passo 5

Em x=5:
limxto5^-f(x)=3=limxto5^+f(x) e f(5)=3, logo f é contínua em 5.

Resposta

a) Um esboço qualitativo foi descrito no passo 2, mostrando assíntota horizontal y=1, salto em x=-5, assíntota vertical em x=0 e continuidade em x=5.
b) f é descontínua em x=-5 (salto) e em x=0 (assíntota vertical) e contínua em x=5.

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