Questão 4 Considere uma função
que tenha as seguintes características:
Domínio:
a) Faça um possível gráfico de
.
b) Fale sobre a continuidade da função em
e
, justificando sua resposta.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) Fale sobre a continuidade da função em
Passo 1
O enunciado fornece limites laterais em
, limites no infinito, valores de
em
e pede (a) um esboço gráfico compatível e (b) discutir continuidade em
. Para isso vamos usar interpretação de limites, assíntotas e o conceito de continuidade (limite igual a valor da função).
Passo 2
Construção do gráfico:
Para temos
: assíntota horizontal
.
Em : limite pela esquerda
e pela direita
, mas
. Então
– Para desenhe uma curva suave que parte de perto de
em
e desce até o ponto
(círculo aberto).
– Em marque ponto isolado em
.
– Para faça uma curva que sai de
e cresce até
quando
.
Para
Em
– Para
– Em
– Para
Em
: há assíntota vertical
(limite
), e ponto isolado em
.
Para
a curva sai de
em
e decresce até
em
.
Em
temos
que coincide com o limite lateral, e para
a curva sai de
em
e cresce sem limite até
quando
.
Passo 3
Em
:
, logo
não existe. Portanto
não é contínua em
.
Passo 4
Em
:
(não finito) e
, logo não há continuidade em
.
Passo 5
Em
:
e
, logo
é contínua em
.
Resposta
a) Um esboço qualitativo foi descrito no passo 2, mostrando assíntota horizontal
, salto em
, assíntota vertical em
e continuidade em
.
b) é descontínua em
(salto) e em
(assíntota vertical) e contínua em
.
b)