Questão 3 Considere a função f: R R, tal que:
f(x)=cc a x^2+b x-6, & x<2 -a x+b+5, & 2 <= x<4 raizx, & x >= 4
em que a e b são constantes reais. Nessas condições, responda o que se pede:
a) Determine lim x 2^- f(x) e lim x 2^+ f(x) (valor: 0,50 ponto).
b) Determine os valores de a e b para que a função seja contínua para ( -infty, 5 ) (valor: 1,0 ponto).
c) Com os valores calculados de a e b, a função será contínua em x=5 ?
d) Esboce o gráfico de f(x) utilizando os valores das constantes calculadas no item anterior (valor: 1,0 ponto).

Passo 1

O enunciado dá uma função
com (a,b] reais.
Conteúdo: limites laterais em ponto de troca de ramo, condição de continuidade (igualdade de limites e valor no ponto), e esboço de gráfico.

Passo 2

Para xto2^- usamos o ramo a x^2+b x-6, logo
limxto2^-f(x) = acdot2^2+bcdot2-6 =4a+2b-6
Para xto2^+ usamos o ramo -a x+b+5, então
limxto2^+f(x) =-acdot2+b+5 =-2a+b+5

Passo 3

Para que
  1. em :
logo
Resolvendo o sistema
da primeira vem . Substituindo na segunda:
e assim

Passo 4

Com a=tfrac75, b=tfrac135, o ramo para x>=4 é f(x)=raizx, que é contínua em todo x>=4. Em particular, em x=5 vale
limxto5^-f(x)=raiz5 e f(5)=raiz5,
ou seja, é contínua em x=5.

Passo 5

Para esboçar o gráfico com a=tfrac75, b=tfrac135:
  • Para x<2: parábola f(x)=tfrac75x^2+tfrac135x-6. Em x=2 f(2)=tfrac245=4,8.
  • Para 2<= x<4: reta decrescente
f(x)=-tfrac75x+l(tfrac135+5r) =-tfrac75x+tfrac385,
que em x=2 vale tfrac245 e em x=4 vale 2.
  • Para x>=4: curva f(x)=raizx, que em x=4 tem f(4)=2 e cresce suavemente.

Resposta

a) limxto2^-f(x)=4a+2b-6, limxto2^+f(x)=-2a+b+5.
b) a=tfrac75, b=tfrac135.
c) Sim, f é contínua em x=5.
d) Parâbola até x=2 passando por (2,4,8), reta de (2,4,8) a (4,2), e depois y=raizx para x>=4.

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