Dizemos que uma variável aleatória contínua X\) está uniformemente distribuída no intervalo \([a, b]\) se sua função densidade de probabilidade é tal que \[p(x)= \begin{cases}\frac{1}{b-a} & \text { se } \quad a \leq x \leq b, \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}
Se X\] é uniformemente distribuída em [ 0,1 ], calcule: \(P(4<X<11)

Passo 1

O enunciado dá que X\) é uma variável aleatória contínua uniformemente distribuída em \([0,1]\). As informações relevantes são: - A função densidade é \[p(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{b-a} & \text{se } a\le x\le b,\\[6pt] 0 & \text{caso contrário.}\end{cases}
  • Como o intervalo é [0,1]\], temos \(a=0 e b=1, logo dentro do suporte p(x)=\dfrac{1}{1-0}=1.
  • A pergunta é calcular P(4<X<11).]

Passo 2

Para uma variável contínua, a probabilidade de um evento do tipo \alpha<X<\beta é a área sob a curva da densidade entre \alpha e \beta. Formalmente:
P(\alpha<X<\beta)=\int_{\alpha}^{\beta} p(x)\,dx.
Aqui p(x) é a densidade (unidades: probabilidade por unidade de x) e dx indica que estamos somando (integrando) essas “pequenas parcelas” de probabilidade ao longo do intervalo. Intuitivamente, é a área sob o gráfico de p(x) entre os limites.

Passo 3

Aplicando ao caso pedido:
P(4<X<11)=\int_{4}^{11} p(x)\,dx.
Mas sabemos (da informação do Passo 1) que
p(x)=\begin{cases}1 & \text{se }0\le x\le1,\\[4pt]0 & \text{caso contrário.}\end{cases}á
O intervalo (4,11) não intersecta [0,1]; isto é,
(4,11)\cap[0,1]=\varnothing.
Portanto, para todo x em [4,11] vale p(x)=0.]

Passo 4

Como o integrando é zero no intervalo de integração, a integral vale zero:
P(4<X<11)=\int_{4}^{11} 0\,dx = 0.
Intuitivamente: a variável X só pode assumir valores entre 0 e 1, então é impossível que X caia entre 4 e 11; a probabilidade desse evento é 0.

Resposta

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