Seja X \sim \mathcal{N}(5,16). Calcule:
P(4 \leq X \leq 9)

Passo 1

O enunciado dá que X segue uma distribuição normal com média 5 e variância 16, ou seja X\sim\mathcal{N}(5,16).
A pergunta é calcular a probabilidade
P(4 \leq X \leq 9).
Informações relevantes fornecidas:
  • média \mu=5,
  • variância \sigma^{2}=16,
  • desvio padrão \sigma=\sqrt{16}=4.

Passo 2

Para trabalhar com probabilidades de uma normal qualquer é mais fácil transformar para a normal padrão. A normal padrão é a distribuição \mathcal{N}(0,1) cuja função de distribuição acumulada chamaremos de \Phi. A fórmula de padronização (normalização) é:
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde Z tem distribuição \mathcal{N}(0,1), \mu é a média da X e \sigma é o desvio padrão. Aqui \mu=5 e \sigma=4.

Passo 3

Aplicando a padronização aos limites 4 e 9:
\frac{4-5}{4}=\frac{-1}{4}=-0,25, \qquad \frac{9-5}{4}=\frac{4}{4}=1.
Portanto
P(4 \leq X \leq 9)=P\!\left(-0,25 \leq Z \leq 1\right).

Passo 4

A probabilidade para Z em termos da função de distribuição \Phi é
P(-0,25 \leq Z \leq 1)=\Phi(1)-\Phi(-0,25).
Usamos a simetria da normal padrão: \Phi(-a)=1-\Phi(a). Assim
\Phi(1)-\Phi(-0,25)=\Phi(1)-\bigl(1-\Phi(0,25)\bigr)=\Phi(1)+\Phi(0,25)-1.
Agora consultamos a tabela da normal padrão (ou uma calculadora): os valores são aproximadamente
\Phi(1)=0,84134,\qquad \Phi(0,25)=0,59871.
Substituindo:
\Phi(1)+\Phi(0,25)-1=0,84134+0,59871-1=0,44005.

Passo 5

Interpretação curta: a probabilidade de X cair entre 4 e 9 é aproximadamente 0,44005, ou seja cerca de 44,0\%. Boa! Você transformou para a normal padrão e usou a tabela — esse é o caminho típico na prova.

Resposta

0,44005

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