Seja X \sim \mathcal{N}(5,16). Calcule:
o valor de a tal que P(X \leq a)=0,04

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor de a tal que P(X \leq a)=0,04, sabendo que X\sim\mathcal{N}(5,16).
Informações dadas:
  • A média é \mu=5.
  • A variância é \sigma^{2}=16, portanto o desvio padrão é \sigma=4.
  • Queremos o quantil de ordem 0,04 da distribuição de X: isto é, o a tal que a probabilidade acumulada até a seja 0,04.

Passo 2

Vamos padronizar para usar a tabela (ou função inversa) da normal padrão. Definição e ideia:
  • Se X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}), então a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}
segue Z\sim\mathcal{N}(0,1) (normal padrão: média 0 e desvio padrão 1). Isso é útil porque tabelas e funções conhecidas dão probabilidades para Z.
Explicação intuitiva: subtraímos a média para centralizar em zero e dividimos pelo desvio padrão para medir distâncias em “número de desvios-padrão”.

Passo 3

Transformamos a probabilidade pedida usando Z:
P(X\le a)=P\!\left(\frac{X-5}{4}\le\frac{a-5}{4}\right)=P\!\left(Z\le\frac{a-5}{4}\right)=0,04.
Logo precisamos encontrar o valor z tal que
\Phi(z)=0,04,
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Depois teremos
\frac{a-5}{4}=z \quad\Rightarrow\quad a=5+4z.

Passo 4

Achar z=\Phi^{-1}(0,04). Como 0,04 é pequeno, esperamos z negativo. Usando simetria da normal:
\Phi(-z)=1-\Phi(z).
Portanto \Phi^{-1}(0,04)=-\Phi^{-1}(0,96). Consultando tabela da normal padrão ou calculadora estatística, obtemos
\Phi^{-1}(0,04)\approx -1,75068607.
Observação prática: muitas tabelas dão \Phi(1,75)\approx0,95994, então para 0,96 o z fica um pouco maior que 1,75, o que leva ao valor acima.

Passo 5

Agora calculamos a usando a=5+4z:
a=5+4\cdot(-1,75068607)=5-7,00274428=-2,00274428.

Passo 6

Arredondando de forma razoável (por exemplo, três casas decimais), obtemos
a\approx -2,003.
Você pode checar: P(X\le -2,003)\approx0,04 usando uma calculadora/soft que calcule a CDF da normal.

Resposta

-2,003

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