Dizemos que uma variável aleatória contínua X\) está uniformemente distribuída no intervalo \([a, b]\) se sua função densidade de probabilidade é tal que \[p(x)= \begin{cases}\frac{1}{b-a} & \text { se } \quad a \leq x \leq b, \\\\ 0 & \text { caso contrário. }\end{cases}
Se X\] é uniformemente distribuída em [ 0,1 ], calcule: \(P(|X-3|<4)

Passo 1

O enunciado diz que X\) é uma variável aleatória contínua com distribuição uniforme em \([0,1]\). A função densidade é \[p(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{1-0}=1 & \text{se }0\le x\le1,\\[4pt] 0 & \text{caso contrário.}\end{cases}
A pergunta que precisamos responder é: calcular (;P(|X-3|<4)].]

Passo 2

Interpretar a desigualdade absoluta |X-3|<4. Lembrando que |u|<c com c>0 é equivalente a -c<u<c. Aplicando isso:
|X-3|<4 \quad\Longleftrightarrow\quad -4<X-3<4.

Passo 3

Resolver a desigualdade para X: somando 3 a todas as partes obtemos
-4+3 < X < 4+3,
ou seja
-1 < X < 7.
Portanto o evento |X-3|<4 é o mesmo que X\in(-1,7).

Passo 4

Agora lembre que X só pode assumir valores no intervalo de suporte [0,1]. Então o evento real observado é a interseção dos conjuntos:
(-1,7)\cap[0,1]=[0,1].
Isso significa que todo valor possível de X (tudo em [0,1]) satisfaz |X-3|<4.

Passo 5

Para uma variável uniforme em [a,b] a probabilidade de um subconjunto A\subset\mathbb{R} é a razão entre o comprimento do segmento A\cap[a,b] e o comprimento total b-a, porque a densidade é constante igual a 1/(b-a). Aqui a=0 e b=1, então
P(|X-3|<4)=P(X\in[0,1])=\int_{0}^{1}1\,dx=1.
Também se pode ver como comprimento: \text{comprimento}([0,1])/(1-0)=1/1=1.

Passo 6

Interpretação em palavras (pra te animar): o número 3 está a distância 3 de 0 e a distância 2 de 1; como todas essas distâncias são menores que 4, qualquer x em [0,1] fica a menos de 4 unidades de 3. Logo o evento ocorre com certeza.

Resposta

1

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