Dizer se a dada equação diferencial é exata. Se for, resolva.
((5 x+4 y) d x+(4 y-8 y^{3}) d y=0)
((5 x+4 y) d x+(4 y-8 y^{3}) d y=0)
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a equação diferencial
é exata. Se for exata, resolver (ou seja, achar a função potencial
tal que
represente a equação).
Informações dadas (que vou usar):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
Passo 2
O que significa ser exata? Vou explicar passo a passo (calma, é mais simples do que parece).
- Uma forma diferencial
é exata em um domínio se existir uma função tal que
- Uma condição prática e necessária (e suficiente em domínios simples) para exatidão é que as derivadas parciais cruzadas coincidam:
Ou seja: calcular
e
e comparar.
Passo 3
Calcular
.
- Lembre que
. Diferenciando em relação a , a derivada de em relação a é (porque é tratado como constante), e a derivada de em relação a é . - Portanto
Passo 4
Calcular
.
- Lembre que
. Essa expressão depende só de ; não há nela. - Ao diferenciar em relação a
, tudo que depende apenas de é tratado como constante, então a derivada é . - Portanto
Passo 5
Comparar as derivadas parciais cruzadas e concluir.
- Temos
e . - Como
, a condição de exatidão falha. - Conclusão: a forma diferencial não é exata.
Passo 6
(Comentário prático — como verificar integrar fatores simples)
- Às vezes, quando não é exata, procura-se um fator integrante
ou que torne a forma exata. Há testes rápidos: - Para
depender só de é necessário que seja função só de . - Para
depender só de é necessário que seja função só de .
- Para
- Aqui
que depende de
(não de
); isso impede obter uma
.
- E
que depende de
e
misturados; isso impede uma
.
- Portanto não há fator integrante simples que dependa somente de
ou somente de . (Existem fatores integrantes mais gerais, mas sua busca é mais trabalhosa e não foi solicitada.)
Resposta
A equação diferencial não é exata.