Dizer se a dada equação diferencial é exata. Se for, resolva.
((5 x+4 y) d x+(4 y-8 y^{3}) d y=0)

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a equação diferencial
(5x+4y)\,dx + (4y-8y^{3})\,dy = 0
é exata. Se for exata, resolver (ou seja, achar a função potencial \Phi(x,y) tal que d\Phi=0 represente a equação).
Informações dadas (que vou usar):
  • Coeficiente de dx: M(x,y)=5x+4y.
  • Coeficiente de dy: N(x,y)=4y-8y^{3}.

Passo 2

O que significa ser exata? Vou explicar passo a passo (calma, é mais simples do que parece).
  • Uma forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy é exata em um domínio se existir uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
  • Uma condição prática e necessária (e suficiente em domínios simples) para exatidão é que as derivadas parciais cruzadas coincidam:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Ou seja: calcular \partial M/\partial y e \partial N/\partial x e comparar.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}.
  • Lembre que M(x,y)=5x+4y. Diferenciando em relação a y, a derivada de 5x em relação a y é 0 (porque x é tratado como constante), e a derivada de 4y em relação a y é 4.
  • Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}=4.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}.
  • Lembre que N(x,y)=4y-8y^{3}. Essa expressão depende só de y; não há x nela.
  • Ao diferenciar em relação a x, tudo que depende apenas de y é tratado como constante, então a derivada é 0.
  • Portanto
\frac{\partial N}{\partial x}=0.

Passo 5

Comparar as derivadas parciais cruzadas e concluir.
  • Temos \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=4 e \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}=0.
  • Como 4 \neq 0, a condição de exatidão \partial M/\partial y=\partial N/\partial x falha.
  • Conclusão: a forma diferencial não é exata.

Passo 6

(Comentário prático — como verificar integrar fatores simples)
  • Às vezes, quando não é exata, procura-se um fator integrante \mu(x) ou \mu(y) que torne a forma exata. Há testes rápidos:
    • Para \mu(x) depender só de x é necessário que \dfrac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} seja função só de x.
    • Para \mu(y) depender só de y é necessário que \dfrac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} seja função só de y.
  • Aqui
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}=\frac{4-0}{4y-8y^{3}}=\frac{1}{y(1-2y^{2})},
que depende de y (não de x); isso impede obter uma \mu(x).
  • E
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}=\frac{0-4}{5x+4y}=-\frac{4}{5x+4y},
que depende de x e y misturados; isso impede uma \mu(y).
  • Portanto não há fator integrante simples que dependa somente de x ou somente de y. (Existem fatores integrantes mais gerais, mas sua busca é mais trabalhosa e não foi solicitada.)

Resposta

A equação diferencial não é exata.

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