Dizer se é ou não correcta a seguinte proposição relativa a vectores de
e
então
.
Passo 1
O enunciado pergunta se, num espaço vetorial real de dimensão
com produto interno usual, a igualdade
e o facto de
obrigam a que
. O conteúdo aqui é a propriedade do produto escalar e ortogonalidade de vetores.
Passo 2
Para ver que a proposição falha em geral, basta dar um contraexemplo em
. Seja
Então
logo
, mas claramente
.
Passo 3
Em termos gerais,
implica
ou seja,
é ortogonal a
. Isso não obriga
a ser o vetor nulo, apenas a pertencer ao subespaço ortogonal a
. Logo não se pode concluir
.
Resposta
A proposição não é correcta.