Dizer se é ou não correcta a seguinte proposição relativa a vectores de V_{n}: \operatorname{Se} A \cdot B= =A \cdot C e A \neq O então B=C.

Passo 1

O enunciado pergunta se, num espaço vetorial real de dimensão n com produto interno usual, a igualdade
A \cdot B = A \cdot C
e o facto de A \neq O obrigam a que B = C. O conteúdo aqui é a propriedade do produto escalar e ortogonalidade de vetores.

Passo 2

Para ver que a proposição falha em geral, basta dar um contraexemplo em \mathbb{R}^2. Seja
A = (1,0),\quad B = (0,1),\quad C = (0,0).
Então
A \cdot B = 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0,
A \cdot C = 1\cdot 0 + 0\cdot 0 = 0,
logo A \cdot B = A \cdot C, mas claramente B \neq C.

Passo 3

Em termos gerais, A \cdot B = A \cdot C implica
A \cdot (B - C) = 0,
ou seja, B - C é ortogonal a A. Isso não obriga B - C a ser o vetor nulo, apenas a pertencer ao subespaço ortogonal a A. Logo não se pode concluir B=C.

Resposta

A proposição não é correcta.

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