Determinar todos os vectores de V_{2} que são ortogonais a A e têm o mesmo comprimento que A se:
A=(2,-1);

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar todos os vetores (x,y)\in V_{2} que sejam ortogonais a A=(2,-1) e que tenham o mesmo comprimento de A. O conteúdo aqui é produto interno (para ortogonalidade) e norma em \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Para que (x,y) seja ortogonal a A, precisamos ter
\langle(x,y),(2,-1)\rangle = 0
ou seja
2x - y = 0
o que implica
y = 2x.

Passo 3

Para que (x,y) tenha o mesmo comprimento de A, fazemos
\|(x,y)\| = \|A\|.
Como \|A\| = \sqrt{2^{2}+(-1)^{2}} = \sqrt{5}, basta igualar os quadrados das normas:
x^{2}+y^{2} = 5.
Substituindo y=2x obtemos
x^{2} + (2x)^{2} = 5 \quad\Longrightarrow\quad 5x^{2} = 5 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 1
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x = \pm 1.

Passo 4

Usando y=2x, temos duas possibilidades:
  • Se x = 1, então y = 2, obtendo (1,2).
  • Se x = -1, então y = -2, obtendo (-1,-2).

Resposta

Os vetores que satisfazem as condições são
(1,2) \quad\text{e}\quad (-1,-2).

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