Usando o teorema binomial, escreva mais detalhadamente os primeiros termos da série de Taylor centrada em 0 de .
Tomando , calcule o valor da soma truncada até .
Multiplicando em ambos os lados por 2, obtenha um valor aproximado de .
3. Tomando , calcule o valor da soma truncada até .
Multiplicando em ambos os lados por 2 , obtenha um valor aproximado de .
4. Tomando , mostre que a série, diminuída do primeiro termo, é alternada. Multiplicando em ambos os lados por 2 e usando a estimativa de erro estudada em sala, calcule uma aproximação de com uma precisão de quatro casas decimais.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teorema binomial generalizado para escrever a expansão em série de Taylor centrada em 0 de \r , e depois avaliar algumas somas truncadas em pontos específicos para aproximar , e . \r
Para isso precisamos lembrar que, para qualquer real ,\r
\r
e\r
Passo 2
Aqui . Vamos calcular para e escrever os termos até :\r
\r \r
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\r \r
\r
\r \r
\r
\r \r
\r
\r \r
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Logo a série até é\r
Passo 3
Tomamos . O termo geral é . Vamos calcular cada um até :\r
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\r
Somando esses seis termos:\r
\r
Como queremos , multiplicamos por 2:
Passo 4
Agora . De modo análogo, cada termo é , e até obtemos:\r \r
Multiplicando por 2 dá\r
\r
que é a aproximação de .
Passo 5
Para , os termos a partir de têm sinal alternado e valores decrescentes em módulo, pois\r muda de sinal a cada e . \r
Pelo critério da série alternada, o erro ao truncar depois de n=5 é no máximo o valor absoluto do termo de ordem 6:\r