1. Usando o teorema binomial, escreva mais detalhadamente os primeiros termos da série de Taylor centrada em 0 de f.
  2. Tomando x=-12, calcule o valor da soma truncada até n=5.
Multiplicando em ambos os lados por 2, obtenha um valor aproximado de raiz2.
3. Tomando x=-14, calcule o valor da soma truncada até n=5.
Multiplicando em ambos os lados por 2 , obtenha um valor aproximado de raiz3.
4. Tomando x=14, mostre que a série, diminuída do primeiro termo, é alternada. Multiplicando em ambos os lados por 2 e usando a estimativa de erro estudada em sala, calcule uma aproximação de raiz5 com uma precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teorema binomial generalizado para escrever a expansão em série de Taylor centrada em 0 de \r
(1+x)^1/2, e depois avaliar algumas somas truncadas em pontos específicos para aproximar raiz2, raiz3 e raiz5. \r
Para isso precisamos lembrar que, para qualquer real alpha,\r
binomalphan=alpha(alpha-1)cdots(alpha-n+1)n!,\r
e\r
(1+x)^alpha=sumn=0^inftybinomalphanx^n

Passo 2

Aqui alpha=tfrac12. Vamos calcular binom1/2n para n=0,1,2,3,4,5 e escrever os termos até x^5:\r
\r
n=0:\r
binom1/20=1\r
\r
n=1:\r
binom1/21=1/21= tfrac12\r
\r
n=2:\r
binom1/22=tfrac12l(tfrac12-1r)2!=tfrac12cdot(-tfrac12)2=-tfrac18\r
\r
n=3:\r
binom1/23=tfrac12cdot(-tfrac12)cdot(-tfrac32)3!=tfrac116\r
\r
n=4:\r
binom1/24=tfrac12cdot(-tfrac12)cdot(-tfrac32)cdot(-tfrac52)4!=-tfrac5128\r
\r
n=5:\r
binom1/25=tfrac12cdot(-tfrac12)cdot(-tfrac32)cdot(-tfrac52)cdot(-tfrac72)5!=!-tfrac7256\r
\r
Logo a série até x^5 é\r
(1+x)^1/2 =1 +tfrac12,x -tfrac18,x^2 +tfrac116,x^3 -tfrac5128,x^4 +tfrac7256,x^5 +cdots

Passo 3

Tomamos x=-tfrac12. O termo geral é binom1/2n(-tfrac12)^n. Vamos calcular cada um até n=5:\r
\r
n=0: 1
n=1: tfrac12cdot(-tfrac12)=-tfrac14
n=2: -tfrac18cdot(tfrac14)=-tfrac132
n=3: tfrac116cdot(-tfrac18)=-tfrac1128
n=4: -tfrac5128cdottfrac116=-tfrac52048
n=5: -tfrac7256cdot(-tfrac132)=+tfrac78192 \r
\r
Somando esses seis termos:\r
S5 =1-tfrac14-tfrac132-tfrac1128-tfrac52048+tfrac78192 approx0,7093505859375 \r
Como queremos raiz2, multiplicamos por 2:
2,S5approx1,418701171875

Passo 4

Agora x=-tfrac14. De modo análogo, cada termo é binom1/2n(-tfrac14)^n, e até n=5 obtemos:\r
1-0,125-0,0078125-0,0009765625-0,000152587890625+0,000026702880859375approx0,8660850524902344\r
Multiplicando por 2 dá\r
2,S5approx1,7321701049804688, \r
que é a aproximação de raiz3.

Passo 5

Para x=+tfrac14, os termos a partir de n=1 têm sinal alternado e valores decrescentes em módulo, pois\r
binom1/2n(1/4)^n muda de sinal a cada n e l|binom1/2n+1(1/4)^n+1r|<l|binom1/2n(1/4)^nr|. \r
Pelo critério da série alternada, o erro ao truncar depois de n=5 é no máximo o valor absoluto do termo de ordem 6:\r
b6 =l|binom1/26r|l(tfrac14r)^6 approx5times10^-6 \r
Queremos raiz5 com erro menor que 10^-4. Como raiz5=2(1+tfrac14)^1/2, basta usar S5. \r
Calculando:\r
S5 =1+0,125-0,0078125+0,0009765625-0,000152587890625+0,000026702880859375 approx1,1180381774902344 \r
Multiplicando por 2:\r
2,S5approx2,236076354980469 \r
Arredondando para quatro casas decimais em raiz5, obtemos 2,2361.

Resposta

  1. (1+x)^1/2=1+tfrac12x-tfrac18x^2+tfrac116x^3-tfrac5128x^4+tfrac7256x^5+cdots \r
  2. raiz2approx1,418701171875 \r
  3. raiz3approx1,7321701049804688 \r
  4. A série em x=1/4, excluindo o termo inicial, é alternada; usando 5 termos dá raiz5approx2,236076354980469, logo raiz5approx2,2361 (4 casas decimais).

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