Dizer se são convergentes ou divergentes as séries:
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, em particular usamos a linearidade da soma de séries e o teste do termo geral, além do caráter convergente da série geométrica quando a razão está em módulo abaixo de 1.
Passo 2
Separamos a série em duas partes usando a propriedade de soma de séries:
Passo 3
Analisamos a primeira série
Esta é uma série geométrica de razão
, com
. Logo ela converge, e seu valor não interessa para o teste de divergência da soma total, apenas fica o fato de ser finita.
Passo 4
Analisamos a segunda série
Aplicamos o teste do termo geral: o
-ésimo termo é
, e
Como o termo geral não tende a zero, a série diverge imediatamente.
Passo 5
Para que a soma de duas séries convergisse seria necessário que ambas convergissem. Como
diverge, concluímos que a série original diverge.
Resposta
A série diverge.