Dizer se são convergentes ou divergentes as séries:
sumn=1^+infty(15^n+n)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^+inftyl(15^n+nr)
é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas, em particular usamos a linearidade da soma de séries e o teste do termo geral, além do caráter convergente da série geométrica quando a razão está em módulo abaixo de 1.

Passo 2

Separamos a série em duas partes usando a propriedade de soma de séries:
sumn=1^inftyl(15^n+nr) =sumn=1^infty15^n ;+;sumn=1^inftyn

Passo 3

Analisamos a primeira série
sumn=1^infty15^n
Esta é uma série geométrica de razão r=tfrac15, com lvert rrvert<1. Logo ela converge, e seu valor não interessa para o teste de divergência da soma total, apenas fica o fato de ser finita.

Passo 4

Analisamos a segunda série
sumn=1^inftyn
Aplicamos o teste do termo geral: o n-ésimo termo é an=n, e
limntoinftyan=limntoinftyn=+inftyneq0
Como o termo geral não tende a zero, a série diverge imediatamente.

Passo 5

Para que a soma de duas séries convergisse seria necessário que ambas convergissem. Como sum n diverge, concluímos que a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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