Esboce o sólido cujo volume é dado pelas integrais triplas iteradas e reescreva a integral como uma integral equivalente de dois modos diferentes:
integral0^2 integral0^2-y integral0^4-y^2 d x d z d y

Passo 1

O enunciado nos dá o volume de uma região R por
integraly=0^2integralz=0^2-yintegralx=0^4-y^2dx,dz,dy
O conteúdo aqui é mudança de ordem de integração em integrais triplas. Para reescrever em ordens diferentes, precisamos entender bem a região R, esboçá-la e depois projetá-la nos planos coordenados.

Passo 2

Descrevendo R pelas desigualdades:
0 <= y <= 2,
0 <= z <= 2 - y,
0 <= x <= 4 - y^2.
Ou seja, R é o sólido limitado pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0, pelo cilindro parabólico x + y^2 = 4 (que determina o teto em x) e pelo plano inclinado z + y = 2 (que determina o teto em z). Em projeção no plano y!z temos um triângulo de vértices (y,z)=(0,0),(2,0),(0,2); para cada ponto desse triângulo a coordenada x vai de 0 até 4 - y^2.

Passo 3

Ordem de integração ;dz,dy,dx.
Projete R no plano x!y: as condições são
0 <= x <= 4 - y^2 e 0 <= y <= 2.
Para cada (x,y) nessa região, z vai de 0 até 2 - y.
Logo uma forma equivalente é
integralx=0^4integraly=0^raiz4-xintegralz=0^2-ydz,dy,dx

Passo 4

Ordem de integração ;dx,dy,dz.
Projete R no plano y!z: o triângulo com
0 <= z <= 2 e 0 <= y <= 2 - z.
Para cada (y,z) nesse triângulo, x vai de 0 até 4 - y^2.
Isso dá
integralz=0^2integraly=0^2-zintegralx=0^4-y^2dx,dy,dz

Resposta

O sólido R é o volume limitado pelos planos coordenados, pelo cilindro parabólico x+y^2=4 e pelo plano z+y=2. Duas integrais equivalentes são:
integralx=0^4integraly=0^raiz4-xintegralz=0^2-ydz,dy,dx e integralz=0^2integraly=0^2-zintegralx=0^4-y^2dx,dy,dz

Exercícios relacionados