Esboce o sólido cujo volume é dado pelas integrais triplas iteradas e reescreva a integral como uma integral equivalente de dois modos diferentes:
Passo 1
O enunciado nos dá o volume de uma região
por
O conteúdo aqui é mudança de ordem de integração em integrais triplas. Para reescrever em ordens diferentes, precisamos entender bem a região
, esboçá-la e depois projetá-la nos planos coordenados.
Passo 2
Descrevendo
pelas desigualdades:
,
,
.
Ou seja, é o sólido limitado pelos planos coordenados
,
,
, pelo cilindro parabólico
(que determina o teto em
) e pelo plano inclinado
(que determina o teto em
). Em projeção no plano
temos um triângulo de vértices
; para cada ponto desse triângulo a coordenada
vai de
até
.
Ou seja,
Passo 3
Ordem de integração
.
Projete no plano
: as condições são
e
.
Para cada nessa região,
vai de
até
.
Logo uma forma equivalente é
Projete
Para cada
Logo uma forma equivalente é
Passo 4
Ordem de integração
.
Projete no plano
: o triângulo com
e
.
Para cada nesse triângulo,
vai de
até
.
Isso dá
Projete
Para cada
Isso dá
Resposta
O sólido
é o volume limitado pelos planos coordenados, pelo cilindro parabólico
e pelo plano
. Duas integrais equivalentes são: