(14) Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
Passo 1
O enunciado pede para analisar a função
fazendo: domínio, raízes, crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e esboço do gráfico. Vamos precisar de derivadas primeira e segunda e de limites em
e em
.
Passo 2
Domínio: como
só está definido para
, temos
Passo 3
Raízes: resolvemos
Ou
(não está no domínio) ou
, o que dá
Logo, a única raiz é
.
Passo 4
Crescimento e decrescimento:
Zerando
:
Como para
temos
(decresce) e para
temos
(cresce), concluímos:
-
decresce em . -
cresce em .
No ponto críticohá um mínimo local, com
Passo 5
Concavidade e ponto de inflexão:
Para todo
temos
, ou seja,
é côncava para cima em todo o domínio e não existem pontos de inflexão.
Passo 6
Assíntotas:
- Em
:
então não há assíntota vertical (nem infinita).
- Em
:
não existe assíntota horizontal e, como
, também não há oblíqua.
Passo 7
Esboço do gráfico:
- Em
, , aproximando-se do eixo de baixo. - Decresce até o mínimo em
. - Aumenta cruzando o eixo em
e cresce indefinidamente, sempre côncava para cima.
Resposta
Domínio:
Raiz:
Cresce em , decresce em
Mínimo em ; sem pontos de inflexão (sempre côncava para cima)
Sem assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas
Gráfico: começa em , atinge mínimo em
, cruza eixo em
e cresce para
.
Raiz:
Cresce em
Mínimo em
Sem assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas
Gráfico: começa em