(14) Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
f(x)=x ln x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a função
f(x)=xln x
fazendo: domínio, raízes, crescimento/decrescimento, concavidade, pontos de inflexão, assíntotas e esboço do gráfico. Vamos precisar de derivadas primeira e segunda e de limites em 0^+ e em +infty.

Passo 2

Domínio: como ln x só está definido para x>0, temos
Dom(f)=(0,infty)

Passo 3

Raízes: resolvemos
xln x = 0
Ou x=0 (não está no domínio) ou ln x=0, o que dá
x=1
Logo, a única raiz é x=1.

Passo 4

Crescimento e decrescimento:
f'(x)=ddx(xln x)=ln x + 1
Zerando f'(x):
ln x + 1 = 0 Longrightarrow x=e^-1=tfrac1e
Como para 0<x<1/e temos ln x<-1 Rightarrow f'<0 (decresce) e para x>1/e temos ln x>-1 Rightarrow f'>0 (cresce), concluímos:
  • f decresce em (0,1/e).
  • f cresce em (1/e,infty).
    No ponto crítico x=1/e há um mínimo local, com
f(1/e)=tfrac1ecdot(-1)=-tfrac1e

Passo 5

Concavidade e ponto de inflexão:
f''(x)=ddx(ln x +1)=1x
Para todo x>0 temos f''(x)>0, ou seja, f é côncava para cima em todo o domínio e não existem pontos de inflexão.

Passo 6

Assíntotas:
  • Em xto0^+:
limxto0^+xln x=0,
então não há assíntota vertical (nem infinita).
  • Em xto+infty:
limxtoinftyf(x)=infty,
não existe assíntota horizontal e, como f(x)x=ln xtoinfty, também não há oblíqua.

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • Em xto0^+, f(x)to0^-, aproximando-se do eixo x de baixo.
  • Decresce até o mínimo em l(1/e,,-1/er).
  • Aumenta cruzando o eixo em (1,0) e cresce indefinidamente, sempre côncava para cima.

Resposta

Domínio: (0,infty)
Raiz: x=1
Cresce em (1/e,infty), decresce em (0,1/e)
Mínimo em l(1/e,-1/er); sem pontos de inflexão (sempre côncava para cima)
Sem assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas
Gráfico: começa em (0,0^-), atinge mínimo em (1/e,-1/e), cruza eixo em (1,0) e cresce para +infty.

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