Dizer se são convergentes ou divergentes as séries:
Passo 1
O enunciado nos dá a série de termos positivos
e pede para determinar para quais valores de ela converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o critério da integral imprópria para séries de termos positivos.
Passo 2
Definimos a função
e observamos que , é contínua para e, para , é decrescente a partir de algum . Logo, podemos aplicar o critério da integral: e têm o mesmo comportamento de convergência.
Passo 3
Analisamos a integral imprópria
Fazemos a troca de variável , daí . Quando , ; quando , . A integral vira
Passo 4
A integral
tem dois casos:
Se ,
Se p>1, então -p+1<0 e u^-p+1to0 quando utoinfty, logo a integral converge.
Se 0<= p<1, então -p+1>0 e u^-p+1toinfty, logo a integral diverge.