Dizer se são convergentes ou divergentes as séries:
sumn=1^+infty 1n(ln n)^p, p >= 0

Passo 1

O enunciado nos dá a série de termos positivos
sumn=2^infty1n(ln n)^p, p>=0,
e pede para determinar para quais valores de p ela converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é o critério da integral imprópria para séries de termos positivos.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=1x(ln x)^p, x>=2,
e observamos que f(x)>0, é contínua para x>1 e, para p>=0, é decrescente a partir de algum x>=2. Logo, podemos aplicar o critério da integral:
sum an e integral f(x),dx têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 3

Analisamos a integral imprópria
integral2^inftydxx(ln x)^p
Fazemos a troca de variável u=ln x, daí du=dxx. Quando x=2, u=ln2; quando xtoinfty, utoinfty. A integral vira
integralln2^inftyu^-p,du

Passo 4

A integral
integralln2^inftyu^-p,du
tem dois casos:
  1. Se pneq1,
    integral u^-p,du=u^-p+1-p+1g|ln2^infty
    • Se p>1, então -p+1<0 e u^-p+1to0 quando utoinfty, logo a integral converge.
    • Se 0<= p<1, então -p+1>0 e u^-p+1toinfty, logo a integral diverge.
  2. Se p=1,
    integralln2^inftyu^-1,du=integralln2^inftyduu=[ln u]ln2^infty=infty,
    ou seja, diverge.

Passo 5

Pelo critério da integral, a série
sumn=2^infty1n(ln n)^p
converge se e somente se a integral correspondente converge. Portanto:

Resposta

Para p>1 a série converge.
Para 0<= p<=1 a série diverge.

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