Questão 3. Calcule as seguintes integrais indefinidas:
integral(x^2+5 x) e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integrall(x^2+5xr)e^x,dx
O conteúdo aqui é integração por partes, ou podemos usar a linearidade da integral para separar o polinômio em dois termos.

Passo 2

Usando a linearidade de integrais, escrevemos
integrall(x^2+5xr)e^x,dx =integral x^2e^x,dx +5integral x,e^x,dx

Passo 3

Para integral x^2e^x,dx, aplicamos integração por partes uma vez com
u = x^2, dv=e^xdx.
Então
du = 2x,dx, v = e^x
Logo
integral x^2e^x,dx =x^2e^x-integral 2x,e^x,dx
Ainda resta integral 2x,e^x,dx, que calculamos no próximo passo.

Passo 4

Para integral x,e^x,dx, usamos integração por partes com
u = x, dv=e^xdx.
Assim
du = dx, v = e^x,
e
integral x,e^x,dx =x e^x-integral e^x,dx =x e^x-e^x =e^x(x-1)
Substituindo de volta em integral x^2e^x,dx, temos
integral x^2e^x,dx =x^2e^x-2l[e^x(x-1)r] =e^xl(x^2-2x+2r)

Passo 5

Agora voltamos à integral original:
integrall(x^2+5xr)e^x,dx =e^xl(x^2-2x+2r) +5,e^x(x-1)+C
Fatorando e^x,
e^xl(x^2-2x+2+5x-5r) =e^xl(x^2+3x-3r)+C

Resposta

boxed integrall(x^2+5xr)e^x,dx =e^xl(x^2+3x-3r)+C

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