Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos itens abaixo. Se elas não estiverem satisfeitas, decida se a conclusão do Teorema ainda vale.
Passo 1
O enunciado define a função por partes
f(x)= x^2, & x>=2, 2x, & x<2,
no intervalo [a,b]=[1,4], e pede para verificar as hipóteses do Teorema do Valor Médio (TVM). Para aplicar o TVM, precisamos checar que f é contínua em [1,4] e diferenciável em (1,4).
Passo 2
Analisando a continuidade:
– Em x<2 e em x>2, cada ramo é polinomial, logo contínuo.
– Em x=2, o limite pela esquerda é limxto2^-f(x)=2cdot2=4 e pela direita é limxto2^+f(x)=2^2=4, coincindo com f(2)=4.
Logo f é contínua em todo [1,4].
Passo 3
Analisando a diferenciabilidade:
– Para x<2, f'(x)=2.
– Para x>2, f'(x)=2x.
Em x=2 as derivadas laterais são f'(2^-)=2 e f'(2^+)=4, diferentes, então fnão é diferenciável em x=2. Logo a hipótese de diferenciabilidade em todo (1,4)falha.
Passo 4
Como falta diferenciabilidade em x=2, não podemos garantir formalmente o TVM. Mesmo assim, vamos calcular o coeficiente angular médio e verificar se existe algum c que satisfaça a conclusão.
Passo 5
O coeficiente médio é
f(4)-f(1)4-1 = 16 - 23 = 143
Passo 6
Procuramos cin(1,4) tal que f'(c)=tfrac143.
– Se c<2, f'(c)=2neqtfrac143.
– Se c>2, f'(c)=2c. Logo
2c = 143 implies c = 73,
que está em (2,4)subset(1,4). Assim existe c=tfrac73 que satisfaz a conclusão do TVM, mesmo sem diferenciabilidade em todo o intervalo.
Resposta
A função é contínua em [1,4] mas não é diferenciável em x=2, logo o TVM não se aplica estritamente. Entretanto, existe c=tfrac73 em (1,4) tal que