Dizer se são convergentes ou divergentes as séries:
sumn=2^+infty 1(ln n)^1 / n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série numérica
sumn=2^+infty 1(ln n)^1/n
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é o critério necessário de convergência de uma série: se o termo geral ,an não tende a zero, a série diverge.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = 1(ln n)^1/n
Para estudar o limite de an quando ntoinfty, escrevemos
an = (ln n)^-1/n = expl(-ln(ln n)nr)
Como ln(ln n) cresce mais devagar que n, temos
limntoinftyln(ln n)n = 0 Longrightarrow limntoinftyan = exp(0) = 1

Passo 3

O critério de divergência diz que, se limntoinftyan neq 0, então a série
sum an diverge. Aqui encontramos lim an = 1neq 0, logo a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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