Exercício 6) Achar as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 32 u^3 e de área das faces mínima (Usar multiplicadores de Lagrange).

Passo 1

O problema pede as arestas (x,y,z) de uma caixa retangular sem tampa que têm volume fixo ;32;u^3 e cuja área total das faces é mínima. O método escolhido é o dos multiplicadores de Lagrange, pois queremos minimizar
f(x,y,z)=underbracexybase+2,underbracexzlado+2,underbraceyzoutro lado
sujeito à restrição
g(x,y,z)=xyz-32=0

Passo 2

Definimos
f(x,y,z)=xy+2xz+2yz, g(x,y,z)=xyz-32
Pelo método, existe lambda tal que
nabla f(x,y,z)=lambda,nabla g(x,y,z)

Passo 3

Escrevendo as derivadas parciais, temos o sistema
partial fpartial x = y + 2z = lambda ,(yz), [6pt] partial fpartial y = x + 2z = lambda ,(xz), [6pt] partial fpartial z = 2x + 2y = lambda ,(xy), [3pt] xyz = 32 ]

Passo 4

Das duas primeiras equações
y+2z=lambda,yz e x+2z=lambda,xz
segue-se, se x,y>0, que y+2z e x+2z só podem ser iguais se x=y. Logo, x=y.

Passo 5

Com x=y, a terceira equação
2x+2y=lambda,xy
vira
4x=lambda,x^2 Longrightarrow lambda=4x
Substituindo lambda e y=x em, digamos, y+2z=lambda,yz, obtemos
x+2z=4x,x,z Longrightarrow x+2z=4z Longrightarrow z=x2

Passo 6

Aplicando a restrição de volume xyz=32 com y=x e z=tfrac x2, temos
xcdot xcdotx2=32 Longrightarrow x^32=32 Longrightarrow x^3=64 Longrightarrow x=4

Passo 7

Portanto
x=4, y=4, z=x2=2

Resposta

As dimensões da caixa são 4,u por 4,u por 2,u.

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