Exercício 6) Achar as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume e de área das faces mínima (Usar multiplicadores de Lagrange).
Passo 1
O problema pede as arestas de uma caixa retangular sem tampa que têm volume fixo e cuja área total das faces é mínima. O método escolhido é o dos multiplicadores de Lagrange, pois queremos minimizar
sujeito à restrição
g(x,y,z)=xyz-32=0
Passo 2
Definimos
f(x,y,z)=xy+2xz+2yz, g(x,y,z)=xyz-32
Pelo método, existe lambda tal que
nabla f(x,y,z)=lambda,nabla g(x,y,z)
Passo 3
Escrevendo as derivadas parciais, temos o sistema
partial fpartial x = y + 2z = lambda ,(yz), [6pt] partial fpartial y = x + 2z = lambda ,(xz), [6pt] partial fpartial z = 2x + 2y = lambda ,(xy), [3pt] xyz = 32 ]
Passo 4
Das duas primeiras equações
y+2z=lambda,yz e x+2z=lambda,xz
segue-se, se x,y>0, que y+2z e x+2z só podem ser iguais se x=y. Logo, x=y.
Passo 5
Com x=y, a terceira equação
2x+2y=lambda,xy
vira
4x=lambda,x^2 Longrightarrow lambda=4x
Substituindo lambda e y=x em, digamos, y+2z=lambda,yz, obtemos