e pede para determinar se essa série converge absolutamente. Informações relevantes que temos: os termos gerais são (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n2^{n}} para n=1,2,\dots. A pergunta é especificamente sobre convergência absoluta (não apenas convergência simples).
Passo 2
Definição importante (o que significa “converge absolutamente”): uma série \sum a_{n} converge absolutamente se a série dos módulos \sum |a_{n}| converge. Assim, para nosso caso precisamos estudar a série dos módulos dos termos:
Nossa tarefa virou: mostrar se \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n2^{n}} converge.
Passo 4
Ferramenta que vamos usar: teste de comparação simples. Enunciado do teste (intuição e uso): se 0\leq b_{n}\leq c_{n} para todo n a partir de algum ponto e \sum c_{n} converge, então \sum b_{n} também converge. Aqui escolhemos uma sequência c_{n} que seja uma série conhecida e convergente, e que domine b_{n}=\dfrac{1}{n2^{n}}.
Passo 5
Observe que para todo n\ge 1 temos n\ge 1, logo \dfrac{1}{n}\le 1. Multiplicando por \dfrac{1}{2^{n}} (positivo) obtemos
\frac{1}{n2^{n}}\le \frac{1}{2^{n}}.
Portanto podemos comparar com a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n}}. Essa é uma série geométrica com primeira razão \dfrac{1}{2} (razão em módulo r=\tfrac{1}{2}), e sabemos que uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} converge quando |r|<1. No nosso caso
Pelo teste de comparação: como 0\le \dfrac{1}{n2^{n}}\le \dfrac{1}{2^{n}} para todo n e \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n}} converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^{n}}
também converge. Isto mostra que a série dos módulos converge, logo a série original converge absolutamente. Lembre-se: convergência absoluta implica convergência simples; então além de absolutamente convergente, a série também converge.