Dizer se as séries seguintes convergem absolutamente:
\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}}-\ldots+(-1)^{n+1} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{2^{n}}+\ldots

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{2^{n}}
e pede para determinar se essa série converge absolutamente. Informações relevantes que temos: os termos gerais são (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n2^{n}} para n=1,2,\dots. A pergunta é especificamente sobre convergência absoluta (não apenas convergência simples).

Passo 2

Definição importante (o que significa “converge absolutamente”): uma série \sum a_{n} converge absolutamente se a série dos módulos \sum |a_{n}| converge. Assim, para nosso caso precisamos estudar a série dos módulos dos termos:
\sum_{n=1}^{\infty} \left|(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{2^{n}}\right|.
Se essa série convergir, então a série original converge absolutamente.

Passo 3

Calculemos o módulo do termo geral. Para todo n,
\left|(-1)^{n+1}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{2^{n}}\right|=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{n2^{n}}.
Portanto a série de módulos é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^{n}}.
Nossa tarefa virou: mostrar se \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n2^{n}} converge.

Passo 4

Ferramenta que vamos usar: teste de comparação simples. Enunciado do teste (intuição e uso): se 0\leq b_{n}\leq c_{n} para todo n a partir de algum ponto e \sum c_{n} converge, então \sum b_{n} também converge. Aqui escolhemos uma sequência c_{n} que seja uma série conhecida e convergente, e que domine b_{n}=\dfrac{1}{n2^{n}}.

Passo 5

Observe que para todo n\ge 1 temos n\ge 1, logo \dfrac{1}{n}\le 1. Multiplicando por \dfrac{1}{2^{n}} (positivo) obtemos
\frac{1}{n2^{n}}\le \frac{1}{2^{n}}.
Portanto podemos comparar com a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n}}. Essa é uma série geométrica com primeira razão \dfrac{1}{2} (razão em módulo r=\tfrac{1}{2}), e sabemos que uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} converge quando |r|<1. No nosso caso
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1,
ou simplesmente reconhecemos que é finita.

Passo 6

Pelo teste de comparação: como 0\le \dfrac{1}{n2^{n}}\le \dfrac{1}{2^{n}} para todo n e \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n}} converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n2^{n}}
também converge. Isto mostra que a série dos módulos converge, logo a série original converge absolutamente. Lembre-se: convergência absoluta implica convergência simples; então além de absolutamente convergente, a série também converge.

Resposta

Converge absolutamente.

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