Dizer se as séries seguintes convergem absolutamente:
Passo 1
O enunciado fornece a série
(eu escrevi explicitamente o índice
porque
seria indefinido). A pergunta é: essa série converge absolutamente?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O
-ésimo termo é . - A parte positiva (módulo) dos termos é
. - Precisamos investigar convergência absoluta, ou seja, se
converge.
Passo 2
Verificar primeiro se os termos vão para zero (condição mínima para qualquer convergência). Vou analisar
Como
quando
, segue que
Portanto os termos do tipo
tendem a zero — isto é necessário para qualquer tipo de convergência da série.
Passo 3
Agora preciso saber se a sequência
é (eventualmente) decrescente, que é uma hipótese útil para aplicar o teste de séries alternadas. Considere a função contínua
Calculo a derivada:
Como para
temos
, conclui-se que
para todo
. Assim
é decrescente em
e, em particular, a sequência
é decrescente para
.
Passo 4
Aplicando o teste da série alternada (teste de Leibniz): se
é uma sequência positiva, decrescente e com
, então a série alternada
converge. Já verificamos que
é positiva, decrescente (para
) e tende a zero. Portanto a série
converge. Como usamos o teste de Leibniz, essa convergência é assegurada mesmo sem cálculo do valor da soma.
Passo 5
Agora vamos à convergência absoluta. Definição: a série original converge absolutamente se e somente se a série dos valores absolutos converge, isto é, se
converge. Então resta decidir se essa série positiva converge ou diverge.
Passo 6
Vou usar o teste de condensação de Cauchy (um teste clássico para séries de termos positivos decrescentes). O enunciado do teste: se
é uma sequência positiva e decrescente com
, então
converge se, e somente se,
converge. Aqui podemos aplicar com
(já vimos que é positiva, decrescente e tende a zero).
Passo 7
Calculo o termo condensado:
Como
, obtemos
Para
esse termo cresce sem limite porque a exponencial
domina o fator polinomial
: isto é,
Em particular, os termos do somatório condensado não tendem a zero, logo a série condensada
diverge (se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir). Pelo teste de condensação, segue que a série original dos módulos
diverge.
Passo 8
Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Já provamos que a série alternada converge (Passo 4). Conclusão: a série converge, mas não absolutamente — isto é, ela converge condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente; não converge absolutamente.