Dizer se as séries seguintes convergem absolutamente:
\frac{1}{\log 2}-\frac{1}{\log 3}+\frac{1}{\log 4}-\frac{1}{\log 5}+\ldots(-1)^{n} \frac{1}{\log n}+\ldots

Passo 1

O enunciado fornece a série
\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n}\,\frac{1}{\log n}
(eu escrevi explicitamente o índice n=2 porque \log 1=0 seria indefinido). A pergunta é: essa série converge absolutamente?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O n-ésimo termo é (-1)^n \dfrac{1}{\log n}.
  • A parte positiva (módulo) dos termos é \dfrac{1}{\log n}.
  • Precisamos investigar convergência absoluta, ou seja, se \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{\log n} converge.

Passo 2

Verificar primeiro se os termos vão para zero (condição mínima para qualquer convergência). Vou analisar
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log n}.
Como \log n \to \infty quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log n}=0.
Portanto os termos do tipo \frac{1}{\log n} tendem a zero — isto é necessário para qualquer tipo de convergência da série.

Passo 3

Agora preciso saber se a sequência a_n=\dfrac{1}{\log n} é (eventualmente) decrescente, que é uma hipótese útil para aplicar o teste de séries alternadas. Considere a função contínua
f(x)=\frac{1}{\log x},\qquad x>1.
Calculo a derivada:
f'(x)=-\frac{1}{x(\log x)^2}.
Como para x>1 temos x(\log x)^2>0, conclui-se que f'(x)<0 para todo x>1. Assim f é decrescente em (1,\infty) e, em particular, a sequência a_n=f(n)=\dfrac{1}{\log n} é decrescente para n\ge2.

Passo 4

Aplicando o teste da série alternada (teste de Leibniz): se (a_n) é uma sequência positiva, decrescente e com \lim_{n\to\infty} a_n=0, então a série alternada
\sum_{n} (-1)^n a_n
converge. Já verificamos que a_n=\dfrac{1}{\log n} é positiva, decrescente (para n\ge2) e tende a zero. Portanto a série
\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^{n}\frac{1}{\log n}
converge. Como usamos o teste de Leibniz, essa convergência é assegurada mesmo sem cálculo do valor da soma.

Passo 5

Agora vamos à convergência absoluta. Definição: a série original converge absolutamente se e somente se a série dos valores absolutos converge, isto é, se
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\log n}
converge. Então resta decidir se essa série positiva converge ou diverge.

Passo 6

Vou usar o teste de condensação de Cauchy (um teste clássico para séries de termos positivos decrescentes). O enunciado do teste: se (a_n) é uma sequência positiva e decrescente com a_n\to0, então
\sum_{n=1}^{\infty} a_n
converge se, e somente se,
\sum_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}}
converge. Aqui podemos aplicar com a_n=\dfrac{1}{\log n} (já vimos que é positiva, decrescente e tende a zero).

Passo 7

Calculo o termo condensado:
2^{k} a_{2^{k}} = 2^{k}\cdot\frac{1}{\log(2^{k})}.
Como \log(2^{k})=k\log 2, obtemos
2^{k} a_{2^{k}}=\frac{2^{k}}{k\log 2}.
Para k\to\infty esse termo cresce sem limite porque a exponencial 2^{k} domina o fator polinomial k: isto é,
\lim_{k\to\infty}\frac{2^{k}}{k\log 2}=\infty.
Em particular, os termos do somatório condensado não tendem a zero, logo a série condensada
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k}}{k\log 2}
diverge (se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir). Pelo teste de condensação, segue que a série original dos módulos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\log n}
diverge.

Passo 8

Como a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Já provamos que a série alternada converge (Passo 4). Conclusão: a série converge, mas não absolutamente — isto é, ela converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente; não converge absolutamente.

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