Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá: calcular a derivada da função
Pergunta explícita: encontrar
, a derivada de
em relação a
. Informações relevantes: a função é soma de duas parcelas — uma potência de uma expressão polinomial e um múltiplo da função exponencial com argumento linear. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Regras e conceitos que vamos usar (explicados passo a passo, sem pular etapas):
-
Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se
, então . -
Regra do múltiplo por constante: se
é constante e é função, então . -
Regra da cadeia (cadeia simples): quando temos uma função composta
, a derivada é . Intuição: derivamos a camada externa e multiplicamos pela derivada da camada interna. -
Derivada de potência (caso composto): para
com constante, . Aplicado com a regra da cadeia fica: . -
Derivada da exponencial com base
: . Ou seja, derivada da exponencial é ela mesma multiplicada pela derivada do expoente.
Exemplo simples para fixar: se
, aplicando cadeia temos
.
Passo 3
Aplicando as regras à primeira parcela
.
- Identifico a parte externa e a interna:
- externa
, - interna
.
-
Derivo a externa em termos de
: . -
Derivo a interna:
. Cada termo:
-
, -
, -
.
Logo
- Pela regra da cadeia:
Passo 4
Simplificando um pouco o resultado da primeira parcela para ficar mais enxuto na prova:
Multiplicando
por
obtemos
Podemos também fatorar
desse coeficiente:
Portanto uma forma simplificada é
ou, factorizando
,
Ambas são equivalentes; escolher uma depende do que o professor preferir.
Passo 5
Agora derivamos a segunda parcela
.
-
É um produto de constante
pela função com . Pela regra do múltiplo, derivada é vezes a derivada de . -
Pela regra da exponencial com cadeia,
. -
Calculo
. -
Logo
Passo 6
Somando as derivadas das duas parcelas (regra da soma), obtemos
como soma dos resultados dos passos anteriores.
Usando a forma sem fator comum:
Usando a forma com fator comum
(opcional, mais compacta):
Ambas expressões são equivalentes; a segunda evidencia um fator
em comum que pode ser útil em simplificações posteriores.