Nos exercícios de 1 a 75 calcular a derivada.
f(s)=\left(7 s^{2}+6 s-1\right)^{3}+2 e^{-3 s}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá: calcular a derivada da função
f(s)=\left(7 s^{2}+6 s-1\right)^{3}+2 e^{-3 s}.
Pergunta explícita: encontrar f'(s), a derivada de f em relação a s. Informações relevantes: a função é soma de duas parcelas — uma potência de uma expressão polinomial e um múltiplo da função exponencial com argumento linear. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Regras e conceitos que vamos usar (explicados passo a passo, sem pular etapas):
  1. Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Se h(s)=u(s)+v(s), então h'(s)=u'(s)+v'(s).
  2. Regra do múltiplo por constante: se c é constante e u(s) é função, então (c\cdot u(s))' = c\cdot u'(s).
  3. Regra da cadeia (cadeia simples): quando temos uma função composta F(s)=G(u(s)), a derivada é F'(s)=G'(u(s))\cdot u'(s). Intuição: derivamos a camada externa e multiplicamos pela derivada da camada interna.
  4. Derivada de potência (caso composto): para G(u)=u^n com n constante, G'(u)=n u^{n-1}. Aplicado com a regra da cadeia fica: \dfrac{d}{ds}\big(u(s)^n\big)=n\,u(s)^{\,n-1}\,u'(s).
  5. Derivada da exponencial com base e: \dfrac{d}{ds}e^{v(s)}=v'(s)\,e^{v(s)}. Ou seja, derivada da exponencial é ela mesma multiplicada pela derivada do expoente.
Exemplo simples para fixar: se g(s)=(3s+1)^4, aplicando cadeia temos g'(s)=4(3s+1)^3\cdot 3 = 12(3s+1)^3.

Passo 3

Aplicando as regras à primeira parcela \left(7 s^{2}+6 s-1\right)^{3}.
  1. Identifico a parte externa e a interna:
  • externa G(u)=u^3,
  • interna u(s)=7s^2+6s-1.
  1. Derivo a externa em termos de u: G'(u)=3u^2.
  2. Derivo a interna: u'(s)=\dfrac{d}{ds}(7s^2+6s-1). Cada termo:
  • \dfrac{d}{ds}(7s^2)=7\cdot 2s=14s,
  • \dfrac{d}{ds}(6s)=6,
  • \dfrac{d}{ds}(-1)=0.
    Logo
u'(s)=14s+6.
  1. Pela regra da cadeia:
\dfrac{d}{ds}\big((7s^2+6s-1)^3\big)=3\,(7s^2+6s-1)^2\,(14s+6).

Passo 4

Simplificando um pouco o resultado da primeira parcela para ficar mais enxuto na prova:
Multiplicando 3 por (14s+6) obtemos
3(14s+6)=42s+18.
Podemos também fatorar 6 desse coeficiente:
42s+18=6(7s+3).
Portanto uma forma simplificada é
\dfrac{d}{ds}\big((7s^2+6s-1)^3\big)=(42s+18)(7s^2+6s-1)^2
ou, factorizando 6,
\dfrac{d}{ds}\big((7s^2+6s-1)^3\big)=6(7s+3)(7s^2+6s-1)^2.
Ambas são equivalentes; escolher uma depende do que o professor preferir.

Passo 5

Agora derivamos a segunda parcela 2 e^{-3 s}.
  1. É um produto de constante 2 pela função e^{v(s)} com v(s)=-3s. Pela regra do múltiplo, derivada é 2 vezes a derivada de e^{v(s)}.
  2. Pela regra da exponencial com cadeia, \dfrac{d}{ds}e^{v(s)}=v'(s)\,e^{v(s)}.
  3. Calculo v'(s)=\dfrac{d}{ds}(-3s)=-3.
  4. Logo
\dfrac{d}{ds}\big(2 e^{-3 s}\big)=2\cdot(-3)\,e^{-3s}=-6 e^{-3s}.

Passo 6

Somando as derivadas das duas parcelas (regra da soma), obtemos f'(s) como soma dos resultados dos passos anteriores.
Usando a forma sem fator comum:
f'(s)=(42s+18)(7s^2+6s-1)^2-6 e^{-3s}.
Usando a forma com fator comum 6 (opcional, mais compacta):
f'(s)=6(7s+3)(7s^2+6s-1)^2-6 e^{-3s}.
Ambas expressões são equivalentes; a segunda evidencia um fator 6 em comum que pode ser útil em simplificações posteriores.

Resposta

f'(s)=(42s+18)(7s^2+6s-1)^2-6 e^{-3s}.

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