Dizer se as séries seguintes convergem absolutamente:
1-\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{7^{2}}+\frac{1}{9^{2}}+\ldots+(-1)^{n+1} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}+\ldots

Passo 1

O enunciado dá a série cuja soma dos termos é
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{1}{(2n-1)^{2}}
e pede para dizer se essa série converge absolutamente.
Informações relevantes dadas:
  1. O n-ésimo termo da série é (-1)^{n+1}\dfrac{1}{(2n-1)^{2}}.
  2. “Convergir absolutamente” significa analisar a série formada pelos valores absolutos dos termos.
    A partir daqui vamos verificar a convergência da série de valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty} \left|(-1)^{n+1}\frac{1}{(2n-1)^{2}}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^{2}}.

Passo 2

Definição e estratégia (aula rápida): uma série \sum a_n é dita absolutamente convergente se a série dos módulos \sum |a_n| converge. Uma propriedade importante é que absoluto implica convergência usual: se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge.
Portanto nossa tarefa é mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^{2}}
converge.

Passo 3

Usaremos o teste de comparação com uma p-série. Lembrete (aula curta sobre p-séries): a p-série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso, a p-série com p=2,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}},
é convergente (essa é a famosa série de Basel, cujo valor é finito).

Passo 4

Comparação direta (passo a passo):
Para n\ge 1 temos 2n-1 \ge n. Portanto
\frac{1}{(2n-1)^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}.
Como já sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
converge, pelo teste da comparação (uma série com termos não-negativos que é menor termo a termo do que uma série convergente também converge) concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^{2}}
converge. Logo a série dos módulos converge, isto é, a série original converge absolutamente.

Passo 5

Bônus — valor finito da série dos módulos (só para solidificar a ideia): escrevendo a soma de todos os quadrados recíprocos como soma das partes pares e ímpares,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^{2}}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}}.
Mas \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{(2n)^{2}}=\dfrac{1}{4}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}. Assim
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^{2}} =\left(1-\frac{1}{4}\right)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} =\frac{3}{4}\zeta(2) =\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi^{2}}{6} =\frac{\pi^{2}}{8},
o que confirma que a soma dos módulos é finita.

Resposta

Converge absolutamente.

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