Dizer se as séries seguintes convergem absolutamente: 1-\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{5^{2}}-\frac{1}{7^{2}}+\frac{1}{9^{2}}+\ldots+(-1)^{n+1} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}+\ldots
e pede para dizer se essa série converge absolutamente.
Informações relevantes dadas:
O n-ésimo termo da série é (-1)^{n+1}\dfrac{1}{(2n-1)^{2}}.
“Convergir absolutamente” significa analisar a série formada pelos valores absolutos dos termos.
A partir daqui vamos verificar a convergência da série de valores absolutos
Definição e estratégia (aula rápida): uma série \sum a_n é dita absolutamente convergente se a série dos módulos \sum |a_n| converge. Uma propriedade importante é que absoluto implica convergência usual: se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge.
Portanto nossa tarefa é mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^{2}}
converge.
Passo 3
Usaremos o teste de comparação com uma p-série. Lembrete (aula curta sobre p-séries): a p-série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. No nosso caso, a p-série com p=2,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}},
é convergente (essa é a famosa série de Basel, cujo valor é finito).
Passo 4
Comparação direta (passo a passo):
Para n\ge 1 temos 2n-1 \ge n. Portanto
\frac{1}{(2n-1)^{2}} \le \frac{1}{n^{2}}.
Como já sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
converge, pelo teste da comparação (uma série com termos não-negativos que é menor termo a termo do que uma série convergente também converge) concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^{2}}
converge. Logo a série dos módulos converge, isto é, a série original converge absolutamente.
Passo 5
Bônus — valor finito da série dos módulos (só para solidificar a ideia): escrevendo a soma de todos os quadrados recíprocos como soma das partes pares e ímpares,