Dízimas periódicas
Expresse cada um dos números nos exercícios 51-58 como a razão de dois inteiros.
Expresse cada um dos números nos exercícios 51-58 como a razão de dois inteiros.
Passo 1
Beleza, a gente tem o número 1,414414414… e precisa transformá-lo em uma fração, ou seja, uma razão entre dois números inteiros. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre dízimas periódicas, que são aquelas partes decimais que se repetem infinitamente. Vamos precisar entender como identificar qual parte está repetindo e usar umas manhas de álgebra para converter isso em fração.
Passo 2
Primeiro, vamos dar um nome para esse número. Vamos chamar ele de X:
Isso significa que:
Passo 3
A parte que está repetindo aqui é 414 e ela se repete a cada 3 casas decimais. Para eliminar essa repetição, vamos multiplicar X por 1000 (já que temos 3 números repetindo):
Agora, temos:
Passo 4
Agora, vamos subtrair X de 1000X para tirar a parte que está se repetindo:
Isso simplifica para:
Passo 5
Para encontrar o valor de X, vamos dividir os dois lados da equação por 999:
Passo 6
Vamos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador pelo maior divisor comum. Tanto 1413 quanto 999 são divisíveis por 3:
Passo 7
Ainda dá para simplificar mais dividindo novamente por 3: