Dízimas periódicas
Expresse cada um dos números nos exercícios 51-58 como a razão de dois inteiros.
1, 414=1,414414414 ldots

Passo 1

Beleza, a gente tem o número 1,414414414… e precisa transformá-lo em uma fração, ou seja, uma razão entre dois números inteiros. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre dízimas periódicas, que são aquelas partes decimais que se repetem infinitamente. Vamos precisar entender como identificar qual parte está repetindo e usar umas manhas de álgebra para converter isso em fração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar um nome para esse número. Vamos chamar ele de X:
X = 1,414
Isso significa que:
X = 1,414414414ldots

Passo 3

A parte que está repetindo aqui é 414 e ela se repete a cada 3 casas decimais. Para eliminar essa repetição, vamos multiplicar X por 1000 (já que temos 3 números repetindo):
1000X = 1414,414414ldots
Agora, temos:
1000X = 1414,414414ldots

Passo 4

Agora, vamos subtrair X de 1000X para tirar a parte que está se repetindo:
1000X - X = 1414,414414ldots - 1,414414ldots
Isso simplifica para:
999X = 1413

Passo 5

Para encontrar o valor de X, vamos dividir os dois lados da equação por 999:
X = 1413999

Passo 6

Vamos simplificar essa fração dividindo o numerador e o denominador pelo maior divisor comum. Tanto 1413 quanto 999 são divisíveis por 3:
1413 div 3999 div 3 = 471333

Passo 7

Ainda dá para simplificar mais dividindo novamente por 3:
471 div 3333 div 3 = 157111

Resposta

1,414 = dfrac157111

Exercícios relacionados