Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
Passo 1
Resumo: A gente quer achar o máximo e mínimo da função
sob a restrição
. O conteúdo aqui é o método de multiplicadores de Lagrange, então vamos montar a Lagrangeana e resolver o sistema que surge das derivadas parciais.
Passo 2
Montamos a Lagrangeana:
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
$$
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 3 - 2\lambda x = 0,
$$
Passo 3
Da primeira equação vem
e da segunda
. Substituindo na restrição:
Isso dá
Passo 4
Para
temos
,
. Para
temos
,
.
Passo 5
Avaliamos a função nesses pontos:
Passo 6
Logo, o valor
é máximo em
e o valor
é mínimo em
.
Resposta
Valor máximo de 22 em (6, -2) e valor mínimo de -22 em (-6, 2).