Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
f(x, y)=3 x-2 y, x^2+2 y^2=44

Passo 1

Resumo: A gente quer achar o máximo e mínimo da função f(x,y)=3x-2y sob a restrição x^2+2y^2=44. O conteúdo aqui é o método de multiplicadores de Lagrange, então vamos montar a Lagrangeana e resolver o sistema que surge das derivadas parciais.

Passo 2

Montamos a Lagrangeana:
L(x,y,lambda) = 3x - 2y - lambda l(x^2 + 2y^2 - 44r)
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
$$
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 3 - 2\lambda x = 0,
$$
partial Lpartial x = 3 - 2lambda x = 0,
partial Lpartial y = -2 - 4lambda y = 0,

Passo 3

Da primeira equação vem x = 32lambda e da segunda y = -12lambda. Substituindo na restrição:
(32lambda)^2 + 2(-12lambda)^2 = 44
Isso dá
94lambda^2 + 2cdot14lambda^2 = 114lambda^2 = 44 Longrightarrow lambda^2 = 116 Longrightarrow lambda = pm 14

Passo 4

Para lambda = 14 temos x = 6, y = -2. Para lambda = -14 temos x = -6, y = 2.

Passo 5

Avaliamos a função nesses pontos:
f(6,-2) = 3cdot6 - 2cdot(-2) = 22,
f(-6,2) = 3cdot(-6) - 2cdot2 = -22

Passo 6

Logo, o valor 22 é máximo em (6,-2) e o valor -22 é mínimo em (-6,2).

Resposta

Valor máximo de 22 em (6, -2) e valor mínimo de -22 em (-6, 2).

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