Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores máximos e mínimos da função $ f(x, y, z) = x^{2} - y^{2} - 2z $ sujeita à restrição $ x^{2} + y^{2} = z $. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar extremos de funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é criar uma nova função, chamada de função Lagrangiana, que combina a função que queremos otimizar e a restrição, multiplicada por um multiplicador (vamos chamar de $ \lambda $).
Então, nossa função Lagrangiana vai ser:
onde $ g(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z $ é a nossa restrição rearranjada para igualar a zero.
Substituindo nossos valores:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a $ x $, $ y $, $ z $ e $ \lambda $, e igualá-las a zero. Isso vai nos dar um sistema de equações para resolver.
Vamos calcular cada uma:
- Derivada em relação a $ x $:
Simplificando:
- Derivada em relação a $ y $:
Simplificando:
- Derivada em relação a $ z $:
Simplificando:
- Derivada em relação a $ \lambda $ (a própria restrição):
Passo 4
Agora que já sabemos que $ \lambda = 2 $, vamos substituir esse valor nas equações anteriores para encontrar $ x $ e $ y $.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 5
Com $ x = 0 $ e $ y = 0 $, vamos usar a restrição para encontrar $ z $:
Resposta
Os valores de máximo e mínimo ocorrem em $ (x, y, z) = (0, 0, 0) $. O valor da função nesse ponto é:
Portanto, o extremo encontrado é $ 0 $.