Use o método de multiplicadores de Lagrange e ache os valores de máximo e mínimo.
f(x, y, z)=x^2-y^2-2 z, x^2+y^2=z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores máximos e mínimos da função $ f(x, y, z) = x^{2} - y^{2} - 2z $ sujeita à restrição $ x^{2} + y^{2} = z $. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar extremos de funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é criar uma nova função, chamada de função Lagrangiana, que combina a função que queremos otimizar e a restrição, multiplicada por um multiplicador (vamos chamar de $ \lambda $).
Então, nossa função Lagrangiana vai ser:
lambda
onde $ g(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z $ é a nossa restrição rearranjada para igualar a zero.
Substituindo nossos valores:
L(x, y, z, lambda) = f(x, y, z) - lambda (g(x, y, z) - 0)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a $ x $, $ y $, $ z $ e $ \lambda $, e igualá-las a zero. Isso vai nos dar um sistema de equações para resolver.
Vamos calcular cada uma:
  1. Derivada em relação a $ x $:
x
Simplificando:
y
  1. Derivada em relação a $ y $:
z
Simplificando:
lambda
  1. Derivada em relação a $ z $:
x
Simplificando:
partial Lpartial x = 2x - lambda (2x) = 0
2x(1 - lambda) = 0
  1. Derivada em relação a $ \lambda $ (a própria restrição):
y

Passo 4

Agora que já sabemos que $ \lambda = 2 $, vamos substituir esse valor nas equações anteriores para encontrar $ x $ e $ y $.
Da primeira equação:
lambda = 2
x
y
Da segunda equação:
2x(1 - 2) = 0
2x(-1) = 0
x = 0

Passo 5

Com $ x = 0 $ e $ y = 0 $, vamos usar a restrição para encontrar $ z $:
x = 0
y = 0
z

Resposta

Os valores de máximo e mínimo ocorrem em $ (x, y, z) = (0, 0, 0) $. O valor da função nesse ponto é:
(x, y, z) = (0, 0, 0)
Portanto, o extremo encontrado é $ 0 $.

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