O tronco de uma árvore tem formato cilíndrico cujo diâmetro cresce à razão de 14 cm / ano e sua altura cresce à razão de 1 m /ano ( m=metros). Determine a taxa de variação do volume do tronco quando o diametro é 3 cm e sua altura é 50 m.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
Estamos lidando com um tronco de árvore que tem formato cilíndrico. O diâmetro do tronco está crescendo a uma taxa de 14 cm por ano, e a altura está aumentando a uma taxa de 1 metro por ano. Queremos descobrir quão rápido o volume do tronco está mudando quando o diâmetro é de 3 cm e a altura é de 50 metros.
Conteúdos que iremos usar:
  • Geometria do Cilindro: Fórmula para o volume.
  • Cálculo de Taxas Relacionadas (Derivadas): Como relacionar a taxa de variação do volume com as taxas de variação do diâmetro e da altura.

Passo 2

Entendendo a Fórmula do Volume do Cilindro
O volume $ V $ de um cilindro é dado pela fórmula:
V
onde:
  • $ r $ é o raio da base do cilindro,
  • $ h $ é a altura do cilindro,
  • $ \pi $ é uma constante (aproximadamente 3,1416).
Observação: O diâmetro $ D $ é o dobro do raio, ou seja, $ D = 2r $, então podemos escrever $ r = \frac{D}{2} $.

Passo 3

Relacionando as Taxas de Variação
Queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dV}{dt} $.
Usando a fórmula do volume:
dVdt
Agora, derivamos ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
V = pi ( D2 )^2 h = pi D^24 h
Simplificando:
t

Passo 4

Substituindo os Valores Dados
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
  • Diâmetro $ D = 3 $ cm $ = 0,03 $ m (convertendo para metros para manter a consistência de unidades),
  • Taxa de variação do diâmetro $ \frac{dD}{dt} = \frac{1}{4} $ cm/ano $ = 0,0025 $ m/ano,
  • Altura $ h = 50 $ m,
  • Taxa de variação da altura $ \frac{dh}{dt} = 1 $ m/ano.
Substituindo na equação:
D = 3

Passo 5

Calculando os Termos da Equação
Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. Primeiro termo:
0,032 cdot 0,0025 cdot 50 = 0,015 cdot 0,0025 cdot 50 = 0,001875
  1. Segundo termo:
(0,03)^24 cdot 1 = 0,00094 = 0,000225
Somando os dois termos:
0,001875 + 0,000225 = 0,0021

Passo 6

Finalizando o Cálculo da Taxa de Variação do Volume
Agora, multiplicamos o resultado pela constante $ \pi $:
pi

Resposta

A taxa de variação do volume do tronco quando o diâmetro é de 3 cm e a altura é de 50 metros é aproximadamente $ 0,0066 $ metros cúbicos por ano.

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