O tronco de uma árvore tem formato cilíndrico cujo diâmetro cresce à razão de
ano e sua altura cresce à razão de
(
). Determine a taxa de variação do volume do tronco quando o diametro é 3 cm e sua altura é 50 m.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
Estamos lidando com um tronco de árvore que tem formato cilíndrico. O diâmetro do tronco está crescendo a uma taxa de
cm por ano, e a altura está aumentando a uma taxa de 1 metro por ano. Queremos descobrir quão rápido o volume do tronco está mudando quando o diâmetro é de 3 cm e a altura é de 50 metros.
Conteúdos que iremos usar:
- Geometria do Cilindro: Fórmula para o volume.
- Cálculo de Taxas Relacionadas (Derivadas): Como relacionar a taxa de variação do volume com as taxas de variação do diâmetro e da altura.
Passo 2
Entendendo a Fórmula do Volume do Cilindro
O volume $ V $ de um cilindro é dado pela fórmula:
onde:
- $ r $ é o raio da base do cilindro,
- $ h $ é a altura do cilindro,
- $ \pi $ é uma constante (aproximadamente 3,1416).
Observação: O diâmetro $ D $ é o dobro do raio, ou seja, $ D = 2r $, então podemos escrever $ r = \frac{D}{2} $.
Passo 3
Relacionando as Taxas de Variação
Queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, ou seja, $ \frac{dV}{dt} $.
Usando a fórmula do volume:
Agora, derivamos ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
Simplificando:
Passo 4
Substituindo os Valores Dados
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
- Diâmetro $ D = 3 $ cm $ = 0,03 $ m (convertendo para metros para manter a consistência de unidades),
- Taxa de variação do diâmetro $ \frac{dD}{dt} = \frac{1}{4} $ cm/ano $ = 0,0025 $ m/ano,
- Altura $ h = 50 $ m,
- Taxa de variação da altura $ \frac{dh}{dt} = 1 $ m/ano.
Substituindo na equação:
Passo 5
Calculando os Termos da Equação
Vamos calcular cada termo separadamente:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Somando os dois termos:
Passo 6
Finalizando o Cálculo da Taxa de Variação do Volume
Agora, multiplicamos o resultado pela constante $ \pi $:
Resposta
A taxa de variação do volume do tronco quando o diâmetro é de 3 cm e a altura é de 50 metros é aproximadamente $ 0,0066 $ metros cúbicos por ano.