Uma doença contagiosa espalha-se em uma comunidade com n habitantes por meio do contato entre as pessoas. Seja y(t) o número de pessoas que contraíram a doença, em que t é dado em dias. A equação que modela a disseminação dessa doença é dada por
y^prime=k y(n+1-y)
onde k é uma constante de proporcionalidade.
(b) Supondo que n=10000, k=1 e considerando y(0)=1, quantos dias serão necessários para que 1000 pessoas tenham contraído a doença?

Passo 1

O enunciado pede para achar o tempo necessário para que, a partir de uma única pessoa infectada num total de 10000 habitantes, 1000 já tenham contraído a doença, usando o modelo logístico dado por
y'=k,y,(n+1-y)
com n=10000, k=1 e y(0)=1. Vamos precisar resolver essa EDO logística e depois inverter a solução para achar t quando y(t)=1000.

Passo 2

Começamos separando variáveis na EDO
dyy,(L-y)=k,dt,
onde definimos L=n+1=10001. Usamos frações parciais em 1/[y(L-y)]:
1y(L-y)=1Ll(1y+1L-yr)
Integrando ambos os lados:
integraldyy(L-y)=1Ll(ln|y| - ln|L-y|r)=integral k,dt = k t + C
Multiplicando por L e reagrupando,
lnyL-y=Lk,t+C1,
onde C1=L C.

Passo 3

Agora escrevemos a solução geral isolando y:
yL-y=C2e^Lk t Longrightarrow y(t)=L,C2e^Lk t1+C2e^Lk t =L1+1C2e^-Lk t
Usando y(0)=1 para achar C2:
1=L1+1/C2implies 1+1/C2=Limplies C2=1L-1=110000
Logo
y(t)=100011+10000,e^-10001,t

Passo 4

Para achar t quando y(t)=1000, montamos:
1000=100011+10000e^-10001tLongrightarrow 1+10000e^-10001t=100011000=10.001
Assim
10000e^-10001t=9.001 Longrightarrow e^-10001t=0.0009001
e isolando t:
-10001,t=ln(0.0009001) Longrightarrow t=-110001ln(0.0009001)approx7,01times10^-4 dias

Resposta

tapprox7,01times10^-4 dias (aproximadamente 1 minuto).

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