Uma doença contagiosa espalha-se em uma comunidade com
habitantes por meio do contato entre as pessoas. Seja
o número de pessoas que contraíram a doença, em que
é dado em dias. A equação que modela a disseminação dessa doença é dada por
onde
é uma constante de proporcionalidade.
(b) Supondo que
e considerando
, quantos dias serão necessários para que 1000 pessoas tenham contraído a doença?
(b) Supondo que
Passo 1
O enunciado pede para achar o tempo necessário para que, a partir de uma única pessoa infectada num total de 10000 habitantes, 1000 já tenham contraído a doença, usando o modelo logístico dado por
com
,
e
. Vamos precisar resolver essa EDO logística e depois inverter a solução para achar
quando
.
Passo 2
Começamos separando variáveis na EDO
onde definimos
. Usamos frações parciais em
:
Integrando ambos os lados:
Multiplicando por
e reagrupando,
onde
.
Passo 3
Agora escrevemos a solução geral isolando
:
Usando
para achar
:
Logo
Passo 4
Para achar
quando
, montamos:
Assim
e isolando
: