(a) - (1,5): Se f(x)=integralcos (raizx)^tg(raizpi e^-t d t, definida no intervalo (0, pi2), em qual intervalo f é crescente?

Passo 1

O enunciado define a função por
f(x)=integralcos(raizx)^tan(raizpi)e^-t,dt
no domínio (0,tfracpi2), e pede em que intervalo f é crescente. Vamos usar o teorema fundamental do cálculo e a derivação de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Segundo o teorema de Leibniz, se
F(x)=integrala(x)^b(x)g(t),dt,
então
F'(x)=g(b(x)),b'(x)-g(a(x)),a'(x)
Aqui, o limite superior b(x)=tan(raizpi) é constante, então b'(x)=0, e o limite inferior a(x)=cos(raizx).

Passo 3

Calculamos a derivada de a(x):
ddxl[cos(raizx)r]=-sin(raizx)cdotddx(raizx)=-sin(raizx)cdot12raizx
Logo,
f'(x)=-;e^-cos(raizx);a'(x)= -e^-cos(raizx)cdotl(-sin(raizx)2raizxr)=e^-cos(raizx),sin(raizx)2raizx

Passo 4

Para estudar o sinal de f'(x), notamos que:
  • e^-cos(raizx)>0 para todo x.
  • 2raizx>0 em (0,tfracpi2).
  • Resta o sinal de sin(raizx). Como raizxin(0,raiztfracpi2)subset(0,pi), temos sin(raizx)>0.
    Portanto f'(x)>0 em todo o domínio.

Passo 5

Concluímos que f é crescente para todo x em (0,tfracpi2).

Resposta

f é crescente em todo o intervalo (0,tfracpi2).

Exercícios relacionados