Quando todas as curvas de uma família G(x, y, c)=0 interceptam ortogonalmente todas as curvas de outra família H(x, y, k)=0, dizemos que as famílias são trajetórias ortogonais uma da outra. Se
y^prime(x)=f(x, y)
for a equação diferencial que descreve uma das famílias, então a equação diferencial das trajetórias ortogonais a essa família será
y^prime(x)=-1f(x, y)
Encontre as trajetórias ortogonais das famílias de curvas dadas nos itens abaixo.
(b) y=1x+c.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por y=1/(x+c). Isso envolve usar o conceito de famílias ortogonais: se uma família satisfaz y'=f(x,y), as ortogonais obedecem a y'=-1/f(x,y).

Passo 2

Primeiro, vamos obter a equação diferencial que gera a família y=1/(x+c). Derivando em relação a x:
y' = ddxl(1x+cr) = -1(x+c)^2
Como y=1/(x+c), temos (x+c)=1/y, então
y' = -1(x+c)^2 = -y^2

Passo 3

Agora aplicamos a regra das ortogonais: basta trocar y'=f(x,y) por y'=-1/f(x,y). Aqui f(x,y)=-y^2, então a ED das ortogonais é
y' = -1-y^2 = 1y^2

Passo 4

Essa equação é separável. Reescrevendo:
dydx = 1y^2 Longrightarrow y^2,dy = dx
Integrando ambos os lados:
integral y^2,dy = integral dx Longrightarrow y^33 = x + k,
onde k é constante de integração.

Passo 5

Multiplicando por 3 e reescrevendo a constante, obtemos a família solução das trajetórias ortogonais:
y^3 = 3x + C,
onde C=3k é a constante geral.

Resposta

y^3 = 3x + C

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