Quando todas as curvas de uma família
interceptam ortogonalmente todas as curvas de outra família
, dizemos que as famílias são trajetórias ortogonais uma da outra. Se
for a equação diferencial que descreve uma das famílias, então a equação diferencial das trajetórias ortogonais a essa família será
Encontre as trajetórias ortogonais das famílias de curvas dadas nos itens abaixo.
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
. Isso envolve usar o conceito de famílias ortogonais: se uma família satisfaz
, as ortogonais obedecem a
.
Passo 2
Primeiro, vamos obter a equação diferencial que gera a família
. Derivando em relação a
:
Como
, temos
, então
Passo 3
Agora aplicamos a regra das ortogonais: basta trocar
por
. Aqui
, então a ED das ortogonais é
Passo 4
Essa equação é separável. Reescrevendo:
Integrando ambos os lados:
onde
é constante de integração.
Passo 5
Multiplicando por 3 e reescrevendo a constante, obtemos a família solução das trajetórias ortogonais:
onde
é a constante geral.
Resposta
y^3 = 3x + C