Uma doença contagiosa espalha-se em uma comunidade com n habitantes por meio do contato entre as pessoas. Seja y(t) o número de pessoas que contraíram a doença, em que t é dado em dias. A equação que modela a disseminação dessa doença é dada por
y^prime=k y(n+1-y)
onde k é uma constante de proporcionalidade.
(a) Encontre a solução geral de (3).

Passo 1

Estamos diante de uma EDO de primeira ordem do tipo logístico, dada por
y'=k,y,(n+1-y)
onde queremos obter a solução geral y(t).

Passo 2

Separemos as variáveis para integrar. Escrevemos
dyy(n+1-y)=k,dt

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, decomponha em frações parciais: Encontramos constantes A e B tais que
1y(n+1-y)=Ay+Bn+1-y
Resolvendo, obtemos A=B=1/(n+1), logo
1y(n+1-y)=1n+1l(1y+1n+1-yr)

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integraldyy(n+1-y)=1n+1l(ln|y| - ln|n+1-y|r)=integral k,dt = k t + C

Passo 5

Isso leva a
lnyn+1-y=k(n+1)t+C',
onde C’ é constante arbitrária. Por fim, exponenciando e isolando y, obtemos a forma canônica da solução logística:
yn+1-y=Ce^k(n+1)t

Passo 6

Resolvendo para y(t):
y(t)=n+11+Ce^-k(n+1)t,

Passo 7

onde C é uma constante determinada pela condição inicial.

Resposta

y(t)=dfracn+11+Ce^-k(n+1)t, com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados