Uma doença contagiosa espalha-se em uma comunidade com
habitantes por meio do contato entre as pessoas. Seja
o número de pessoas que contraíram a doença, em que
é dado em dias. A equação que modela a disseminação dessa doença é dada por
onde
é uma constante de proporcionalidade.
(a) Encontre a solução geral de (3).
(a) Encontre a solução geral de (3).
Passo 1
Estamos diante de uma EDO de primeira ordem do tipo logístico, dada por
onde queremos obter a solução geral y(t).
Passo 2
Separemos as variáveis para integrar. Escrevemos
Passo 3
Para integrar o lado esquerdo, decomponha em frações parciais: Encontramos constantes A e B tais que
Resolvendo, obtemos A=B=1/(n+1), logo
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Passo 5
Isso leva a
onde C’ é constante arbitrária. Por fim, exponenciando e isolando y, obtemos a forma canônica da solução logística:
Passo 6
Resolvendo para y(t):
Passo 7
onde C é uma constante determinada pela condição inicial.