Utilize o método da questão 6 para encontrar a solução geral das equações abaixo.
(b) y^prime=y^2-1t y-4t^2, com solução particular phi(t)=2t.

Passo 1

Temos a equação de Riccati y' = y^2 - 1t,y - 4t^2 e uma solução particular phi(t)=tfrac2t. Para resolver em geral a gente vai usar a substituição y=phi+tfrac1u, que reduz para uma ODE linear em u.

Passo 2

Substituindo y=tfrac2t+tfrac1u na equação original, primeiro calculamos
y'= ddtl(2t+1ur)= -2t^2-u'u^2
E
y^2=l(2t+1ur)^2=4t^2+4t,u+1u^2
Substituindo em y'=y^2-tfrac1t,y-tfrac4t^2 e cancelando termos em -2/t^2), obtemos
-u'u^2=3t,u+1u^2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por u^2 e reorganizando, chega-se à equação linear
u'+3t,u=-1

Passo 4

Para resolver u'+tfrac3t,u=-1 calculamos o fator integrante
mu(t)=e^integral3/t,dt=t^3
Multiplicando tudo por t^3 temos
(t^3u)'=-t^3,
integrando,
t^3u=-t^44+CLongrightarrow u=- t4+ Ct^3

Passo 5

Por fim, voltamos a y=tfrac2t+tfrac1u. Substituindo u=-tfrac t4+ C/t^3 e ajustando a constante, obtemos a solução geral
y(t)=2t+4t^3K - t^4,
onde K é constante arbitrária.

Resposta

y(t)=2t+4t^3C - t^4, com C constante arbitrária.

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