Dois adultos e uma criança desejam empurrar uma caixa apoiada sobre rodas no sentido do eixo \boldsymbol{x}. Os dois homens empurram a caixa com forças \left|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{\mathbf{1}}\right|=100 \mathrm{~N} e \left|\overrightarrow{\boldsymbol{F}}_{\mathbf{2}}\right|=140 \mathrm{~N} com ângulos de 60^{\circ} e -30^{\circ} em relação ao eixo \boldsymbol{x} respectivamente. a) determine o menor vetor força (modulo, sentido e direção) que deve a criança exercer para ajudar a movimentar a caixa na direção \boldsymbol{x}. Despreze o atrito. b) Se a criança exercer a menor força calculada acima, a caixa se acelera a 2,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} no sentido +\boldsymbol{x}. Qual é a massa da caixa?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo:
  • Dois adultos empurram a caixa com forças:
    \left|\overrightarrow{F}_1\right|=100\\ \mathrm{N} com ângulo \,60^\circ em relação ao eixo \boldsymbol{x} (ou seja, acima do eixo).
    \left|\overrightarrow{F}_2\right|=140\\ \mathrm{N} com ângulo -30^\circ em relação ao eixo \boldsymbol{x} (ou seja, abaixo do eixo).
  • Despreze o atrito.
Perguntas:
a) Determine o menor vetor força (módulo, sentido e direção) que a criança deve aplicar para que a força resultante aponte na direção do eixo \boldsymbol{x} (isto é, para que o empurrão total fique somente ao longo de \boldsymbol{x}).
b) Se a criança aplicar essa menor força, a caixa acelera com 2{,}0\\ \mathrm{m/s^2} no sentido +\boldsymbol{x}. Qual é a massa da caixa?

Passo 2

Conceito importante que vamos usar: qualquer força plana (num plano (x,y)) pode ser decomposta em componentes ao longo de \boldsymbol{x} e \boldsymbol{y}. Se uma força tem magnitude \left|\overrightarrow{F}\right| e faz ângulo \theta com o eixo +\boldsymbol{x}, então as componentes são:
F_x = \left|\overrightarrow{F}\right|\cos\theta,\qquad F_y = \left|\overrightarrow{F}\right|\sin\theta.
Aqui \cos\theta dá quanto da força está "no sentido x" e \sin\theta dá quanto está "no sentido y". Vamos aplicar isso a \overrightarrow{F}_1 e \overrightarrow{F}_2.

Passo 3

Calcule as componentes de \overrightarrow{F}_1. Usamos \left|\overrightarrow{F}_1\right|=100\\ \mathrm{N} e \theta_1=60^\circ.
F_{1x}=100\cos60^\circ=100\cdot\frac{1}{2}=50\\ \mathrm{N},
F_{1y}=100\sin60^\circ=100\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=50\sqrt{3}\\ \mathrm{N}.
Para referência numérica, \sqrt{3}\approx1,73205, logo
F_{1y}=50\sqrt{3}\approx86{,}602540\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Calcule as componentes de \overrightarrow{F}_2. Usamos \left|\overrightarrow{F}_2\right|=140\\ \mathrm{N} e \theta_2=-30^\circ.
F_{2x}=140\cos(-30^\circ)=140\cos30^\circ=140\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=70\sqrt{3}\\ \mathrm{N},
F_{2y}=140\sin(-30^\circ)=140\cdot(-\tfrac{1}{2})=-70\\ \mathrm{N}.
Numericamente,
F_{2x}=70\sqrt{3}\approx121{,}243556\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Some as componentes horizontais e verticais das duas forças dos adultos para obter a resultante parcial (só adultos):
\text{(soma em }x):\quad F_{x,\text{adultos}}=F_{1x}+F_{2x}=50 + 70\sqrt{3}.
Numericamente,
F_{x,\text{adultos}}\approx50 + 121{,}243556=171{,}243556\\ \mathrm{N}.
\text{(soma em }y):\quad F_{y,\text{adultos}}=F_{1y}+F_{2y}=50\sqrt{3}-70.
Numericamente,
F_{y,\text{adultos}}\approx86{,}602540 - 70 = 16{,}602540\\ \mathrm{N}.
Interpretação física: sem a criança, a força resultante dos dois adultos tem uma componente positiva em x de aproximadamente 171{,}24\\ \mathrm{N} e uma componente positiva em y de aproximadamente 16{,}60\\ \mathrm{N} (ou seja, aponta ligeiramente para cima).

Passo 6

O que significa "a força resultante deve ficar na direção \boldsymbol{x}"? Queremos que a soma vetorial total tenha componente em y igual a zero. Seja \overrightarrow{F}_3 a força da criança com componentes F_{3x} e F_{3y}. A condição para a resultante total estar ao longo de \boldsymbol{x} é:
F_{y,\text{adultos}} + F_{3y} = 0.
Ou seja,
F_{3y} = -\,F_{y,\text{adultos}}.
Para minimizar o módulo \left|\overrightarrow{F}_3\right|=\sqrt{F_{3x}^2+F_{3y}^2} dado que F_{3y} já está fixado por essa condição, o melhor é escolher F_{3x}=0. Raciocínio: para uma componente y fixa, a magnitude \sqrt{F_{3x}^2+(\text{const})^2} é mínima quando F_{3x}=0. Qualquer F_{3x}\neq 0 aumentaria o módulo. Portanto a menor força possível que zere a componente y é uma força puramente vertical com
F_{3x}=0,\qquad F_{3y}=-F_{y,\text{adultos}}.
Observação: isto só é válido se a soma das componentes em x dos adultos já for positiva (ou seja, se a resultante em x sem a criança empurra para +\boldsymbol{x}). Se a soma em x fosse negativa, a criança teria que adicionar componente x positiva também para inverter o sentido — mas aqui já vimos que F_{x,\text{adultos}}\approx171{,}24\\ \mathrm{N}>0, então não é o caso.

Passo 7

Usando o resultado numérico de F_{y,\text{adultos}} do Passo 5, obtemos as componentes da força mínima da criança:
F_{3x}=0, \qquad F_{3y}=-F_{y,\text{adultos}}=-\bigl(50\sqrt{3}-70\bigr).
Numericamente,
F_{3y}\approx -16{,}602540\\ \mathrm{N}.
O módulo (magnitude) da força é
\left|\overrightarrow{F}_3\right|=\sqrt{0^2 + \bigl(-16{,}602540\bigr)^2}=16{,}602540\\ \mathrm{N}.
Direção e sentido: como F_{3x}=0 e F_{3y}<0, a força da criança é dirigida ao longo do eixo -\boldsymbol{y} (isto é, vertical para baixo). Em ângulo medido a partir do +\boldsymbol{x}, isso corresponde a -90^\circ ou 270^\circ.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
\left|\overrightarrow{F}_3\right|\approx16{,}6\\ \mathrm{N},\quad\text{direção: }-\boldsymbol{y}\\ (\text{para baixo}),\\ \theta=-90^\circ.çã

Passo 8

Agora a parte (b). Quando a criança aplica essa força mínima, a componente horizontal total é simplesmente a soma das componentes em x (a força da criança tem F_{3x}=0), logo:
F_{x,\text{total}}=F_{x,\text{adultos}}+F_{3x}=F_{x,\text{adultos}}=50 + 70\sqrt{3}.
Pelo enunciado, a caixa acelera com a=2{,}0\\ \mathrm{m/s^2} no sentido +\boldsymbol{x}. Pela segunda lei, a força resultante em x é F_{x,\text{total}}=m\,a. Então
m=\frac{F_{x,\text{total}}}{a}=\frac{50+70\sqrt{3}}{2{,}0}.

Passo 9

Calcule numericamente a massa:
F_{x,\text{total}}=171{,}243556\\ \mathrm{N}\quad\Rightarrow\quad m=\frac{171{,}243556}{2{,}0}=85{,}621778\\ \mathrm{kg}.
Arredondando com três algarismos significativos,
m\approx85{,}6\\ \mathrm{kg}.

Resposta

\left|\overrightarrow{F}_3\right|=16{,}6\\ \mathrm{N} para baixo (direção -\boldsymbol{y}, \theta=-90^\circ em relação a +\boldsymbol{x}).
m=85{,}6\\ \mathrm{kg}.

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