Uma onda plana uniforme de 150 MHz incide normalmente a partir do ar em um material cuja impedância intrínseca é desconhecida. Medições mostram uma taxa de onda estacionária de 3 e o aparecimento de um mínimo de campo elétrico a 0,3 comprimentos de onda à frente da interface. Determine a impedância desconhecida do material.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a impedância intrínseca desconhecida do material a partir de duas medições: a taxa de onda estacionária (SWR) é 3 e há um mínimo do campo elétrico localizado a 0,3 comprimentos de onda ( 0,3\lambda) à frente da interface (no lado do ar). As informações relevantes dadas são:
\text{frequência }=150\\ \text{MHz},ê
\text{SWR}=3,
\text{posição do primeiro mínimo de }E:\\ z_{\min}=0{,}3\lambda\\ (\text{medido a partir da interface, no ar}).çãí
Vou também usar a impedância do ar (meio de incidência) como \eta_0=377\\ \Omega (valor padrão).

Passo 2

Entendendo a relação SWR \leftrightarrow |\Gamma|. A taxa de onda estacionária \text{SWR} é dada em termos do coeficiente de reflexão \Gamma por
\text{SWR}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}.
Essa fórmula vem da definição da SWR como razão entre máximo e mínimo do módulo do campo, e |\Gamma| é o módulo do coeficiente de reflexão na interface. Agora isolamos |\Gamma|:
|\Gamma|=\frac{\text{SWR}-1}{\text{SWR}+1}.
Substituindo \text{SWR}=3:
|\Gamma|=\frac{3-1}{3+1}=\frac{2}{4}=0{,}5.
Portanto o módulo do coeficiente de reflexão é |\Gamma|=0{,}5.

Passo 3

Relação entre posição dos mínimos e a fase de \Gamma. O campo total no ar (superposição de incidente e refletido), em módulo quadrado, tem a forma
|E(z)|^2 \propto 1+|\Gamma|^2+2|\Gamma|\cos\bigl(2\beta z+\angle\Gamma\bigr),
onde \beta é o número de onda no ar e \angle\Gamma é a fase de \Gamma. Os mínimos de |E| ocorrem quando o cosseno é -1, ou seja:
2\beta z+\angle\Gamma=(2n+1)\pi,\quad n\in\mathbb{Z}.
Para o primeiro mínimo à frente da interface tomamos n=0 e z=z_{\min}, logo
2\beta z_{\min}+\angle\Gamma=\pi.
Como \beta=\dfrac{2\pi}{\lambda} e z_{\min}=0{,}3\lambda, substituímos:
2\cdot\frac{2\pi}{\lambda}\cdot 0{,}3\lambda + \angle\Gamma=\pi.
Simplificando:
4\pi\cdot 0{,}3 + \angle\Gamma=\pi \quad\Rightarrow\quad 1{,}2\pi + \angle\Gamma=\pi.
Isolando a fase:
\angle\Gamma=\pi-1{,}2\pi=-0{,}2\pi\\ \text{rad}=-36^\circ.
Assim \Gamma tem módulo 0{,}5 e fase -0{,}2\pi rad.

Passo 4

Escrevendo \Gamma em forma retangular para facilitar contas:
\Gamma=0{,}5\,e^{-j0{,}2\pi}=0{,}5\bigl(\cos(0{,}2\pi)-j\sin(0{,}2\pi)\bigr).
Usando \cos(0{,}2\pi)=\cos(36^\circ)\approx0{,}809016 e \sin(36^\circ)\approx0{,}587785:
\Gamma\approx 0{,}5\bigl(0{,}809016 - j\,0{,}587785\bigr)\approx 0{,}404508 - j\,0{,}293893.

Passo 5

Relacionando \Gamma com a impedância do material \eta. Para incidência normal entre meio 1 (ar, \eta_0) e meio 2 ( \eta) vale
\Gamma=\frac{\eta-\eta_0}{\eta+\eta_0}.
Isolando \eta:
\eta=\eta_0\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}.
Esse é o passo-chave: uma vez conhecido \Gamma (magnitude e fase), podemos calcular \eta fazendo a divisão complexa.

Passo 6

Calculando \dfrac{1+\Gamma}{1-\Gamma} em forma complexa. Primeiro formamos 1+\Gamma e 1-\Gamma:
1+\Gamma \approx 1{,}404508 - j\,0{,}293893,
1-\Gamma \approx 0{,}595492 + j\,0{,}293893.
Fazemos a divisão complexa \dfrac{1+\Gamma}{1-\Gamma} multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}=\frac{(1+\Gamma)(1-\Gamma)^*}{|1-\Gamma|^2}.
Calculando o produto no numerador:
(1+\Gamma)(1-\Gamma)^*\approx 0{,}75 - j\,0{,}587785.
Calculando o denominador (módulo ao quadrado):
|1-\Gamma|^2\approx 0{,}440984.
Portanto a divisão dá (fazendo as contas):
\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}\approx \frac{0{,}75 - j\,0{,}587785}{0{,}440984}\approx 1{,}70074 - j\,1{,}33333.

Passo 7

Finalmente multiplicamos pelo \eta_0 para obter \eta:
\eta=\eta_0\left(1{,}70074 - j\,1{,}33333\right).
Com \eta_0=377\\ \Omega:
\eta\approx 377\cdot(1{,}70074 - j\,1{,}33333)\approx 641{,}18 - j\,502{,}67\\ \Omega.
Arredondando razoavelmente:
\eta\approx (641 - j\,503)\\ \Omega.

Resposta

\eta\approx (641 - j\,503)\\ \Omega

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