Uma onda plana uniforme de 150 MHz incide normalmente a partir do ar em um material cuja impedância intrínseca é desconhecida. Medições mostram uma taxa de onda estacionária de 3 e o aparecimento de um mínimo de campo elétrico a 0,3 comprimentos de onda à frente da interface. Determine a impedância desconhecida do material.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a impedância intrínseca desconhecida do material a partir de duas medições: a taxa de onda estacionária (SWR) é
e há um mínimo do campo elétrico localizado a
comprimentos de onda (
) à frente da interface (no lado do ar). As informações relevantes dadas são:
Vou também usar a impedância do ar (meio de incidência) como
(valor padrão).
Passo 2
Entendendo a relação SWR
. A taxa de onda estacionária
é dada em termos do coeficiente de reflexão
por
Essa fórmula vem da definição da SWR como razão entre máximo e mínimo do módulo do campo, e
é o módulo do coeficiente de reflexão na interface. Agora isolamos
:
Substituindo
:
Portanto o módulo do coeficiente de reflexão é
.
Passo 3
Relação entre posição dos mínimos e a fase de
. O campo total no ar (superposição de incidente e refletido), em módulo quadrado, tem a forma
onde
é o número de onda no ar e
é a fase de
. Os mínimos de
ocorrem quando o cosseno é
, ou seja:
Para o primeiro mínimo à frente da interface tomamos
e
, logo
Como
e
, substituímos:
Simplificando:
Isolando a fase:
Assim
tem módulo
e fase
rad.
Passo 4
Escrevendo
em forma retangular para facilitar contas:
Usando
e
:
Passo 5
Relacionando
com a impedância do material
. Para incidência normal entre meio 1 (ar,
) e meio 2 (
) vale
Isolando
:
Esse é o passo-chave: uma vez conhecido
(magnitude e fase), podemos calcular
fazendo a divisão complexa.
Passo 6
Calculando
em forma complexa. Primeiro formamos
e
:
Fazemos a divisão complexa
multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Calculando o produto no numerador:
Calculando o denominador (módulo ao quadrado):
Portanto a divisão dá (fazendo as contas):
Passo 7
Finalmente multiplicamos pelo
para obter
:
Com
:
Arredondando razoavelmente: