Clientes chegam em uma cabine do tipo drive-thru de uma lanchonete a uma taxa de 2 clientes por minuto, durante o horário de almoço.
Qual é a probabilidade de que, pelo menos, 2 clientes cheguem dentro de 1 minuto?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Taxa de chegada de clientes: 2 clientes por minuto (durante o horário de almoço).
  • Intervalo de interesse: 1 minuto.
Pergunta: Qual é a probabilidade de que, pelo menos, 2 clientes cheguem dentro de 1 minuto?

Passo 2

Vamos modelar o número de chegadas no intervalo de 1 minuto por uma distribuição apropriada para contagens de eventos que ocorrem aleatoriamente a uma taxa constante (chegadas independentes, sem “rajadas” simultâneas). A distribuição usada é a distribuição de Poisson, cuja função massa de probabilidade é:
P(N=k)=\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!}
onde:
  • N é a variável aleatória que representa o número de chegadas no intervalo considerado;
  • k é um número inteiro não negativo ( k=0,1,2,\dots);
  • \lambda é o valor esperado (média) de chegadas no mesmo intervalo de tempo;
  • e é a base do logaritmo natural (aprox. 2,71828).
Explicação rápida do que cada parte faz:
  • \lambda^{k} dá o peso relativo para exatamente k eventos,
  • e^{-\lambda} é o fator que garante que somando todas as probabilidades dá 1,
  • k! normaliza pela ordem dos eventos.

Passo 3

Precisamos determinar \lambda para o intervalo de 1 minuto. Como a taxa é 2 clientes por minuto, a média de chegadas em 1 minuto é
\lambda = (\text{taxa}) \times (\text{tempo}) = 2 \times 1 = 2.
Assim, usaremos \lambda=2 na fórmula de Poisson.

Passo 4

A probabilidade pedida é “pelo menos 2 clientes”, ou seja P(N\ge 2). É mais fácil usar o complemento:
P(N\ge 2)=1-P(N\le 1)=1-\big(P(N=0)+P(N=1)\big).
Isso porque os casos que não queremos ( 0 ou 1 cliente) são fáceis de calcular e somar, e o resto é o complementar.

Passo 5

Calculamos P(N=0) e P(N=1) usando a fórmula de Poisson com \lambda=2.
Para k=0:
P(N=0)=\frac{2^{0} e^{-2}}{0!}=e^{-2}.
Para k=1:
P(N=1)=\frac{2^{1} e^{-2}}{1!}=2 e^{-2}.
Somando:
P(N\le 1)=P(N=0)+P(N=1)=e^{-2}+2e^{-2}=3e^{-2}.
Portanto:
P(N\ge 2)=1-3e^{-2}.

Passo 6

Vamos dar uma aproximação numérica para ficar com uma ideia do valor. Sabemos que e^{-2}\approx 0,135335. Então
3e^{-2}\approx 3\times 0,135335\approx 0,406006,
P(N\ge 2)=1-3e^{-2}\approx 1-0,406006\approx 0,593994\approx 0,594.

Resposta

1-3e^{-2} \approx 0,594

Exercícios relacionados