Clientes chegam em uma cabine do tipo drive-thru de uma lanchonete a uma taxa de 2 clientes por minuto, durante o horário de almoço.
Qual é a probabilidade de que, pelo menos, 2 clientes cheguem dentro de 1 minuto?
Qual é a probabilidade de que, pelo menos, 2 clientes cheguem dentro de 1 minuto?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
- Taxa de chegada de clientes:
2 clientes por minuto (durante o horário de almoço). - Intervalo de interesse:
1 minuto.
Pergunta: Qual é a probabilidade de que, pelo menos,
2
clientes cheguem dentro de
1
minuto?
Passo 2
Vamos modelar o número de chegadas no intervalo de
1
minuto por uma distribuição apropriada para contagens de eventos que ocorrem aleatoriamente a uma taxa constante (chegadas independentes, sem “rajadas” simultâneas). A distribuição usada é a distribuição de Poisson, cuja função massa de probabilidade é:
onde:
-
é a variável aleatória que representa o número de chegadas no intervalo considerado; -
é um número inteiro não negativo ( ); -
é o valor esperado (média) de chegadas no mesmo intervalo de tempo; -
é a base do logaritmo natural (aprox. ).
Explicação rápida do que cada parte faz:
-
dá o peso relativo para exatamente eventos, -
é o fator que garante que somando todas as probabilidades dá 1, -
normaliza pela ordem dos eventos.
Passo 3
Precisamos determinar
para o intervalo de
1
minuto. Como a taxa é
2
clientes por minuto, a média de chegadas em
1
minuto é
Assim, usaremos
na fórmula de Poisson.
Passo 4
A probabilidade pedida é “pelo menos
2
clientes”, ou seja
. É mais fácil usar o complemento:
Isso porque os casos que não queremos (
ou
cliente) são fáceis de calcular e somar, e o resto é o complementar.
Passo 5
Calculamos
e
usando a fórmula de Poisson com
.
Para
:
Para
:
Somando:
Portanto:
Passo 6
Vamos dar uma aproximação numérica para ficar com uma ideia do valor. Sabemos que
. Então