Questão 6: ( 1,0 ponto) Um balde com água é girado verticalmente em um círculo de raio
. Qual deve ser a velocidade mínima no ponto mais alto da trajetória para que a água não caia do balde? (Obs.: Considere a aceleração da gravidade igual a
)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
O enunciado dá estas informações e pede isso:
- Raio da trajetória:
. - Aceleração da gravidade:
. - Pergunta: qual deve ser a velocidade mínima no ponto mais alto da trajetória para que a água não caia do balde? (há várias alternativas; precisamos achar a correta).
Passo 2
Vamos entender quais forças atuam na água quando o balde está no ponto mais alto. Considero um pequeno elemento de água de massa
preso ao balde. As forças verticais (apontando para o centro da curva, que é para baixo no ponto mais alto) são: o peso
(sempre para baixo) e a força normal
exercida pelo balde sobre a água (também para baixo se o balde empurra a água para dentro). Importante explicar: a força normal é a reação do balde; ela pode ser positiva (empurrando) ou zero (quando o balde deixa de empurrar); não pode ser negativa (o balde não “puxa” a água), então o menor valor físico de
é
.
Passo 3
Para movimento circular uniforme (ou instantaneamente circular), a resultante das forças dirigidas para o centro fornece a aceleração centrípeta. A aceleração centrípeta tem magnitude
, onde:
-
é a velocidade tangencial no ponto considerado; -
é o raio da trajetória.
Pela segunda lei de Newton (somatório das forças na direção do centro = massa × aceleração centrípeta), escrevemos a equação no ponto mais alto:
Aqui cada termo significa:
é o peso (força para baixo),
é a normal (também para baixo se presente), e o lado direito é a força resultante necessária para manter a curva (
).
Passo 4
Procuramos a velocidade mínima para que a água não caia. Isso corresponde ao caso limite em que o balde deixa de exercer pressão sobre a água, ou seja, a normal atinge o menor valor possível,
. Fisicamente: se a velocidade fosse menor do que esse limite, a água perderia contato e “cairia” para fora do balde. Então colocamos
na equação do passo anterior.
Passo 5
Com
a equação do passo 3 fica:
Agora simplificamos: podemos dividir ambos os lados por
(a massa do elemento de água), que cancela, ficando
Isolando
e depois
:
Explicação: tiramos a raiz quadrada e tomamos o sinal positivo porque velocidade escalar é positiva.
Passo 6
Substituímos os valores numéricos fornecidos:
e
. Assim
Se quiser uma aproximação numérica rápida para ficar tranquilo:
.
Passo 7
Comparando com as alternativas dadas, a opção que coincide com
é a alternativa (b).
Resposta
b)