Questão 6: ( 1,0 ponto) Um balde com água é girado verticalmente em um círculo de raio R= 2,0 \mathrm{~m}. Qual deve ser a velocidade mínima no ponto mais alto da trajetória para que a água não caia do balde? (Obs.: Considere a aceleração da gravidade igual a g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )
a) 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
b) \sqrt{20} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
c) \sqrt{40} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
d) 10 / \sqrt{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
e) 2 / \sqrt{10} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
f) \sqrt{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
g) 10 \sqrt{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
h) 2 \sqrt{10} \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá estas informações e pede isso:
  • Raio da trajetória: R=2{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
  • Pergunta: qual deve ser a velocidade mínima no ponto mais alto da trajetória para que a água não caia do balde? (há várias alternativas; precisamos achar a correta).

Passo 2

Vamos entender quais forças atuam na água quando o balde está no ponto mais alto. Considero um pequeno elemento de água de massa m preso ao balde. As forças verticais (apontando para o centro da curva, que é para baixo no ponto mais alto) são: o peso \,mg (sempre para baixo) e a força normal \,N exercida pelo balde sobre a água (também para baixo se o balde empurra a água para dentro). Importante explicar: a força normal é a reação do balde; ela pode ser positiva (empurrando) ou zero (quando o balde deixa de empurrar); não pode ser negativa (o balde não “puxa” a água), então o menor valor físico de N é 0.

Passo 3

Para movimento circular uniforme (ou instantaneamente circular), a resultante das forças dirigidas para o centro fornece a aceleração centrípeta. A aceleração centrípeta tem magnitude \,a_c = \dfrac{v^{2}}{R}, onde:
  • \,v é a velocidade tangencial no ponto considerado;
  • \,R é o raio da trajetória.
    Pela segunda lei de Newton (somatório das forças na direção do centro = massa × aceleração centrípeta), escrevemos a equação no ponto mais alto:
mg + N = m\frac{v^{2}}{R}.
Aqui cada termo significa: \,mg é o peso (força para baixo), \,N é a normal (também para baixo se presente), e o lado direito é a força resultante necessária para manter a curva ( m a_c).

Passo 4

Procuramos a velocidade mínima para que a água não caia. Isso corresponde ao caso limite em que o balde deixa de exercer pressão sobre a água, ou seja, a normal atinge o menor valor possível, \,N=0. Fisicamente: se a velocidade fosse menor do que esse limite, a água perderia contato e “cairia” para fora do balde. Então colocamos \,N=0 na equação do passo anterior.

Passo 5

Com \,N=0 a equação do passo 3 fica:
mg = m\frac{v^{2}}{R}.
Agora simplificamos: podemos dividir ambos os lados por \,m (a massa do elemento de água), que cancela, ficando
g = \frac{v^{2}}{R}.
Isolando \,v^{2} e depois \,v:
v^{2} = gR,
v = \sqrt{gR}.
Explicação: tiramos a raiz quadrada e tomamos o sinal positivo porque velocidade escalar é positiva.

Passo 6

Substituímos os valores numéricos fornecidos: \,g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} e \,R=2{,}0\\ \mathrm{m}. Assim
v = \sqrt{10 \times 2} = \sqrt{20}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Se quiser uma aproximação numérica rápida para ficar tranquilo: \sqrt{20}\approx 4{,}472\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a opção que coincide com \sqrt{20}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} é a alternativa (b).

Resposta

b) \sqrt{20}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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