1. Dois alto-falantes estão separados por 6 m. Um ouvinte está sentado diretamente em frente a um deles, a 8 m de distância, de modo que os dois alto-falantes e o ouvinte estão nos vértices de um triângulo retângulo. (a) Achar as duas freqüências mais baixas para as quais a diferença de percurso dos alto-falantes ao ouvinte seja um número ímpar de meios comprimentos de onda., (b) Por que estas frequências podem ser percebidas embora os alto-falantes sejam excitados por um mesmo amplificador?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre dois alto-falantes separados por 6 metros e um ouvinte que está sentado a 8 metros de um deles, formando um triângulo retângulo. O conteúdo envolve ondas sonoras e interferência construtiva e destrutiva. Vamos precisar entender como a diferença de caminho das ondas pode criar padrões de interferência, usando fórmulas de comprimento de onda e frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os lados do triângulo retângulo. Sabemos que a distância entre os alto-falantes é de 6 m e a distância do ouvinte a um dos alto-falantes é de 8 m. Como é um triângulo retângulo, podemos encontrar a distância do ouvinte ao outro alto-falante usando o Teorema de Pitágoras:
a^2 + b^2 = c^2
Aqui, a = 6 m, c = 8 m, e queremos encontrar b.

Passo 3

Aplicando o Teorema de Pitágoras:
6^2 + b^2 = 8^2 36 + b^2 = 64 b^2 = 64 - 36 b^2 = 28 b = raiz28 approx 5,29 m
Então, a distância do ouvinte ao segundo alto-falante é aproximadamente 5,29 metros.

Passo 4

Agora, vamos calcular a diferença de percurso entre os dois alto-falantes até o ouvinte:
De
Essa diferença de caminho é crucial para determinar as frequências que causarão interferência construtiva específica.

Passo 5

Queremos encontrar as frequências onde a diferença de caminho é um número ímpar de meios comprimentos de onda ( lambda2). A condição para interferência construtiva é:
De
Onde n é um número inteiro (0, 1, 2, …).

Passo 6

Vamos isolar lambda na equação:
lambda = De
Sabendo que a frequência f está relacionada ao comprimento de onda pela equação:
f = vlambda
Onde v é a velocidade do som no ar (aproximadamente 343 m/s).

Passo 7

Substituindo lambda na equação da frequência:
f = vDe
Agora, podemos calcular as duas primeiras frequências correspondentes aos menores valores de n. Vamos considerar n = 0 e n = 1.

Passo 8

Para n = 0:
f1 = 343 times (0 + 12)2,71 = 343 times 0,52,71 approx 171,52,71 approx 63,36 Hz
Para n = 1:
f2 = 343 times (1 + 12)2,71 = 343 times 1,52,71 approx 514,52,71 approx 189,78 Hz

Resposta

As duas frequências mais baixas que satisfazem a condição são aproximadamente 63,36 Hz e 189,78 Hz.

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