1. Dois alto-falantes estão separados por uma certa distância e emitem ondas de mesma frequiência, mas as ondas do alto-falante 1 precedem as do alto-falante 2 por 90^circ na fase. Seja r1 a distância de um certo ponto ao alto-falante 1 e r2 a distância deste ponto ao alto-falante 2. Achar o menor valor da diferença r2-r1 tal que o som no ponto considerado seja (a) um máximo e (b) um mínimo. (Exprimir as respostas em termos de comprimento de onda.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois alto-falantes separados por uma distância e que estão emitindo ondas sonoras com a mesma frequência. Mas tem um detalhe: as ondas do alto-falante 1 chegam primeiro no ponto que estamos analisando, com um avanço de fase de 90^circ em relação às do alto-falante 2. Queremos descobrir o menor valor da diferença de distância r2 - r1 que faz o som no ponto ser um máximo (ou seja, quando as ondas se somam de maneira construtiva) e um mínimo (quando elas se cancelam, ou interferência destrutiva). Vamos resolver isso usando os conceitos de interferência de ondas e diferença de fase.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a diferença de fase entre as duas ondas no ponto em questão. A diferença de fase total ( De) é a soma da diferença inicial de fase entre os alto-falantes e a diferença de fase causada pela diferença de distância que as ondas percorrem até o ponto.
Sabemos que:
  • A diferença inicial de fase é de 90^circ, que em radianos é pi2.
  • A diferença de fase causada pela diferença de distância r2 - r1 pode ser calculada usando a fórmula:
    Deâ
    onde lambda é o comprimento de onda.
Então, a diferença de fase total fica:
De

Passo 3

Agora, vamos considerar quando o som no ponto é um máximo. Isso acontece quando a diferença de fase total é um múltiplo inteiro de 2pi, ou seja:
Deé
Substituindo a expressão da diferença de fase total:
pi2 + 2pilambda (r2 - r1) = 2pi n

Passo 4

Vamos resolver para r2 - r1:
2pilambda (r2 - r1) = 2pi n - pi2
Dividindo ambos os lados por 2pi:
r2 - r1lambda = n - 14
Multiplicando por lambda:
r2 - r1 = (n - 14) lambda
Para achar o menor valor positivo de r2 - r1 para máximo, escolhemos n = 1:
r2 - r1 = (1 - 14) lambda = 34 lambda

Passo 5

Agora, vamos ver quando o som no ponto é um mínimo. Isso acontece quando a diferença de fase total é um múltiplo ímpar de pi, ou seja:
Deé
Substituindo a expressão da diferença de fase total:
pi2 + 2pilambda (r2 - r1) = pi + 2pi n

Passo 6

Vamos resolver para r2 - r1:
2pilambda (r2 - r1) = pi + 2pi n - pi2 = pi2 + 2pi n
Dividindo ambos os lados por 2pi:
r2 - r1lambda = 14 + n
Multiplicando por lambda:
r2 - r1 = (14 + n) lambda
Para achar o menor valor positivo de r2 - r1 para mínimo, escolhemos n = 0:
r2 - r1 = 14 lambda

Resposta

(a) O menor valor de r2 - r1 para um máximo é 34 , lambda.
(b) O menor valor de r2 - r1 para um mínimo é 14 , lambda.

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