Dois alto-falantes idênticos, A e B, estão separados por uma distância de d_{1}=1,20 \mathrm{~m} \mathrm{e} emitem ondas sonoras em fase. Um ouvinte encontra-se diretamente à frente do alto-falante A, a uma distância d_{2}=2,50 \mathrm{~m}. As amplitudes das ondas provenientes de A e B podem ser consideradas aproximadamente iguais na posição do ouvinte. Admita a velocidade do som no ar igual a v=343 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e considere que o intervalo audivel para o ser humano vai de 20 Hz a 20 kHz . a) Determine as três primeiras frequências audiveis para as quais ocorre interferência destrutiva (intensidade mínima) na posição do ouvinte. b) Determine as três primeiras frequências audiveis para as quais ocorre interferência construtiva (intensidade máxima) na posição do ouvinte.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (lista clara das informações dadas e das perguntas):
  • Dois alto-falantes idênticos A e B estão separados por uma distância d_{1}=1,20\\ \mathrm{m}.
  • Um ouvinte está diretamente à frente do alto-falante A, a uma distância d_{2}=2,50\\ \mathrm{m} de A.
  • As fontes emitem ondas sonoras em fase e as amplitudes na posição do ouvinte podem ser consideradas aproximadamente iguais.
  • Velocidade do som: v=343\\ \mathrm{m/s}.
  • Intervalo audível: de 20\\ \mathrm{Hz} a 20\\\ 000\\ \mathrm{Hz}.
O enunciado pede:
a) Determinar as três primeiras frequências audíveis para as quais ocorre interferência destrutiva (intensidade mínima) no local do ouvinte.
b) Determinar as três primeiras frequências audíveis para as quais ocorre interferência construtiva (intensidade máxima) no local do ouvinte.

Passo 2

Geometria e cálculo da diferença de caminho entre as ondas vindas de A e B.
  • Coloco o alto-falante A na posição (0,0) e B em (d_{1},0). O ouvinte está em frente a A, na posição (0,d_{2}). Assim a distância do ouvinte a A é r_A=d_{2} e a distância ao alto-falante B é a hipotenusa
r_B=\sqrt{d_{2}^{2}+d_{1}^{2}}.
  • A diferença de caminho que interessa para interferência é
\Delta = r_B-r_A = \sqrt{d_{2}^{2}+d_{1}^{2}}-d_{2}.
Agora substituo os números dados:
r_B=\sqrt{(2,50)^{2}+(1,20)^{2}}=\sqrt{6,25+1,44}=\sqrt{7,69}\approx 2,77\\ \mathrm{m},
\Delta\approx 2,77-2,50=0,27\\ \mathrm{m}.
(Para cálculos numéricos a seguir uso \Delta\approx 0,273\\ \mathrm{m} com precisão suficiente.)

Passo 3

Revisão didática das condições de interferência (o porquê das fórmulas).
  • Wavelength ( \lambda) e frequência ( f) estão relacionadas por
\lambda=\frac{v}{f},
onde v é a velocidade da onda, \lambda é o comprimento de onda e f é a frequência.
  • Quando duas ondas coerentes (mesma frequência) chegam com diferença de caminho \Delta:
    • Interferência construtiva (máximo de intensidade) ocorre quando as cristas chegam alinhadas, isto é quando a diferença de caminho é um número inteiro de comprimentos de onda:
    \Delta = n\,\lambda,\qquad n=0,1,2,\dots
    • Interferência destrutiva (mínimo de intensidade) ocorre quando uma crista chega junto com um vale da outra, ou seja quando a diferença de caminho é um número ímpar de meios comprimentos de onda:
    \Delta =\left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda,\qquad m=0,1,2,\dots
  • Substituindo \lambda=v/f nas condições acima obtemos fórmulas diretas para as frequências que geram máximo ou mínimo.

Passo 4

Frequências para interferência destrutiva (mínimos). Dedução da expressão e cálculo das três primeiras.
  • Partindo de \Delta=(m+\tfrac{1}{2})\lambda e \lambda=v/f, obtemos
\Delta=\left(m+\tfrac{1}{2}\right)\frac{v}{f} \quad\Rightarrow\quad f=\frac{v\left(2m+1\right)}{2\Delta}, \qquad m=0,1,2,\dots
  • Aqui m indexa os mínimos: m=0 dá o primeiro mínimo (menor frequência que satisfaz), m=1 o segundo, etc.
  • Calculo numérico usando \Delta\approx 0,273\\ \mathrm{m} e v=343\\ \mathrm{m/s}:
    • Para m=0:
    f_{0}=\frac{343\cdot 1}{2\cdot 0,273}\approx 628\\ \mathrm{Hz}.
    • Para m=1:
    f_{1}=\frac{343\cdot 3}{2\cdot 0,273}\approx 3\times 628\approx 1884\\ \mathrm{Hz}.
    • Para m=2:
    f_{2}=\frac{343\cdot 5}{2\cdot 0,273}\approx 5\times 628\approx 3140\\ \mathrm{Hz}.
  • Todos estes valores estão dentro do intervalo audível [20,\;20\,000]\\ \mathrm{Hz}. Portanto as três primeiras frequências de mínimo são aproximadamente 628\\ \mathrm{Hz},\\\ 1884\\ \mathrm{Hz},\\\ 3140\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Frequências para interferência construtiva (máximos). Dedução da expressão e cálculo das três primeiras.
  • Partindo de \Delta=n\lambda e \lambda=v/f, obtemos
\Delta = n\frac{v}{f} \quad\Rightarrow\quad f=\frac{v n}{\Delta}, \qquad n=1,2,3,\dots
(Nota: n=0 não é física aqui pois corresponderia a f=\infty.)
  • Calculo numérico com \Delta\approx 0,273\\ \mathrm{m}:
    • Para n=1:
    f_{1}=\frac{343\cdot 1}{0,273}\approx 1256\\ \mathrm{Hz}.
    • Para n=2:
    f_{2}=\frac{343\cdot 2}{0,273}\approx 2512\\ \mathrm{Hz}.
    • Para n=3:
    f_{3}=\frac{343\cdot 3}{0,273}\approx 3768\\ \mathrm{Hz}.
  • Todos estes valores também estão dentro do intervalo audível. Assim as três primeiras frequências de máximo são aproximadamente 1256\\ \mathrm{Hz},\\\ 2512\\ \mathrm{Hz},\\\ 3768\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Resumo prático e dica para a prova
  • Método rápido para a prova:
    1. Calcule a diferença de caminho \Delta geometricamente.
    2. Use \Delta=(m+1/2)\lambda para mínimos e \Delta=n\lambda para máximos.
    3. Converta \lambda em f por f=v/\lambda.
  • Não esqueça de verificar se as frequências obtidas estão dentro do intervalo audível pedido.

Resposta

a) 628\\ \mathrm{Hz},\;1884\\ \mathrm{Hz},\;3140\\ \mathrm{Hz}
b) 1256\\ \mathrm{Hz},\;2512\\ \mathrm{Hz},\;3768\\ \mathrm{Hz}

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