Uma onda senoidal se propaga em uma corda com uma velocidade de 40 cmis. O deslocamento da corda em x=10 \mathrm{~cm} varia com o tempo de acordo com a equação y=(5,0 \mathrm{~cm}) \operatorname{sen}\left[1,0-\left(2,0 \mathrm{~s}^{-1}\right) t\right]. A densidade linear da corda é 6,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}, determine:
c) O número de onda,

Passo 1

O enunciado pede explicitamente o número de onda. Vou listar as informações relevantes fornecidas:
  • Velocidade de propagação: v=40\\ \mathrm{cm/s}.
  • A variação temporal do deslocamento em x=10\\ \mathrm{cm} é dada por y=(5,0\\ \mathrm{cm})\operatorname{sen}\!\bigl[1,0-(2,0\\ \mathrm{s^{-1}})\,t\bigr].
  • A amplitude é 5,0\\ \mathrm{cm} (informação não necessária para k, mas está aí).
    A pergunta que vamos responder: qual é o número de onda k da onda?

Passo 2

Explicando o que é o número de onda e as fórmulas que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Para uma onda senoidal que se propaga, a forma geral (usada frequentemente) é
y(x,t)=A\sin\!\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (em \mathrm{cm}),
  • k é o número de onda (unidade: \mathrm{cm^{-1}} se \,x está em \mathrm{cm}),
  • \omega é a velocidade angular (unidade: \mathrm{s^{-1}}),
  • \varphi é a fase inicial (em radianos).
  • O número de onda k está relacionado à comprimento de onda \lambda por
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
  • A velocidade de propagação v relaciona \omega e k pela relação
v=\frac{\omega}{k}.
Dessa relação segue diretamente
k=\frac{\omega}{v}.
Essa última fórmula é muito prática quando conhecemos \omega e v.

Passo 3

Identificar \omega a partir da expressão dada em x=10\\ \mathrm{cm}.
  • A função em x=10\\ \mathrm{cm} é y(10,t)= (5,0\\ \mathrm{cm})\operatorname{sen}\!\bigl[1,0-(2,0\\ \mathrm{s^{-1}})t\bigr].
  • Comparando com a forma geral \sin(k\cdot 10-\omega t+\varphi), o coeficiente que multiplica t é -\omega. Logo podemos identificar
\omega=2,0\\ \mathrm{s^{-1}}.
(Observação: não é necessário conhecer \varphi porque a relação k=\omega/v usa só \omega e v.)

Passo 4

Calcular o número de onda usando k=\dfrac{\omega}{v}.
  • Substituindo \omega=2,0\\ \mathrm{s^{-1}} e v=40\\ \mathrm{cm/s}:
k=\frac{2,0\\ \mathrm{s^{-1}}}{40\\ \mathrm{cm/s}}.
  • Fazer a divisão, lembrando que as unidades de \mathrm{s^{-1}} e \mathrm{s^{-1}} se cancelam, sobrando \mathrm{cm^{-1}}:
k=0,05\\ \mathrm{cm^{-1}}.

Passo 5

Pequena verificação/interpretação (útil para prova): a partir de k podemos obter o comprimento de onda
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{0,05}=40\pi\\ \mathrm{cm}\approx125,66\\ \mathrm{cm},
o que é consistente com uma velocidade pequena ( 40\\ \mathrm{cm/s}) e uma frequência \omega/(2\pi) muito baixa. Isso só reforça que o valor calculado de k faz sentido.

Resposta

k=0,05\\ \mathrm{cm^{-1}}

Exercícios relacionados