Uma onda senoidal se propaga em uma corda com uma velocidade de 40 cmis. O deslocamento da corda em x=10 \mathrm{~cm} varia com o tempo de acordo com a equação y=(5,0 \mathrm{~cm}) \operatorname{sen}\left[1,0-\left(2,0 \mathrm{~s}^{-1}\right) t\right]. A densidade linear da corda é 6,0 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}, determine:
b) O comprimento de onda

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei os números diretamente do enunciado):
  • A velocidade de propagação da onda é v=40\\ \mathrm{cm/s}.
  • A densidade linear da corda é \mu=6,0\\ \mathrm{g/cm} (esta informação existe no enunciado, mas não será necessária para calcular o comprimento de onda).
  • Em x=10\\ \mathrm{cm} o deslocamento varia com o tempo segundo
y=(5,0\\ \mathrm{cm})\operatorname{sen}\!\bigl[1,0-(2,0\\ \mathrm{s^{-1}})\,t\bigr].
O enunciado pede, no item (b), o comprimento de onda \lambda.

Passo 2

Identificar a frequência angular \omega a partir da dependência temporal da função de onda: na expressão dada o termo que multiplica t dentro do seno é -(2,0\\ \mathrm{s^{-1}}). Esse coeficiente corresponde a -\omega. Logo,
\omega=2,0\\ \mathrm{s^{-1}}.
Breve explicação do que é \omega: \omega é a frequência angular, medida em radianos por segundo; ela indica quantos radianos a fase da onda avança por segundo. A relação com a frequência linear f e o período T é
\omega=2\pi f,\qquad T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{2\pi}{\omega}.

Passo 3

Apresentar a forma geral de uma onda progressiva unidimensional e as quantidades envolvidas. Uma onda senoidal que se propaga em +x costuma ser escrita como
y(x,t)=A\operatorname{sen}(kx-\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (aqui 5,0\\ \mathrm{cm});
  • k é o número de onda (ou wave number), em radianos por unidade de comprimento;
  • \omega é a frequência angular (em rad/s), já identificada;
  • \varphi é a fase inicial (neste problema não precisamos dela explicitamente).
    A relação entre k, \lambda e \omega, v é:
k=\dfrac{2\pi}{\lambda},\qquad v=\dfrac{\omega}{k}.
Dessas relações podemos obter \lambda em função de v e \omega:
\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi v}{\omega}.
Explicação física curta: v=\omega/k significa que a velocidade de fase (velocidade com que uma crista se desloca) é a razão entre o quanto a fase varia no tempo ( \omega) e no espaço ( k).

Passo 4

Calcular o número de onda k a partir de \omega e v. Usando k=\omega/v:
k=\dfrac{\omega}{v}=\dfrac{2,0\\ \mathrm{s^{-1}}}{40\\ \mathrm{cm/s}}=\dfrac{2,0}{40}\\ \mathrm{rad/cm}=0,05\\ \mathrm{rad/cm}.
Observação: a unidade correta para k é \mathrm{rad/cm} (radianos por centímetro).

Passo 5

Calcular o comprimento de onda \lambda usando \lambda=2\pi/k:
\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{0,05\\ \mathrm{rad/cm}}=40\pi\\ \mathrm{cm}.
Se for útil ter o valor numérico aproximado,
40\pi\\ \mathrm{cm}\approx125,66\\ \mathrm{cm}.

Resposta

\lambda=40\pi\\ \mathrm{cm}\approx125,66\\ \mathrm{cm}

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