Planando dentro de um poço do inferno, um diabo observa um estudante despencar no poço com velocidade terminal (portanto constante). Ele escuta a freqüência dos gritos da pessoa mudar de 842 para 800 Hz , quando esta passa por ele. (a) Calcular a velocidade da queda. (b) 0 grito gera batimentos quando superposto ao eco proveniente do fundo do poço. Calcular o número de batimentos por segundo que a própria pessoa ouve durante a queda. © Calcular o número de batimentos por segundo ouvidos pelo diabo depois que o estudante passar por ele.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um estudante caindo com velocidade constante dentro de um poço, e um diabo no topo está ouvindo os gritos dele. Conforme o estudante passa pelo diabo, a frequência do som que o diabo escuta muda de 842 Hz para 800 Hz. Vamos usar conceitos de Efeito Doppler e batimentos para resolver as partes do exercício. Precisaremos das fórmulas do Efeito Doppler para ondas sonoras e da definição de batimentos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade da queda do estudante usando o Efeito Doppler. O Efeito Doppler nos diz que a frequência percebida muda quando há movimento relativo entre a fonte do som e o observador.
A fórmula do Efeito Doppler quando a fonte se aproxima é:
E quando a fonte se afasta:
Aqui:
-
Hz (quando se aproxima) -
Hz (quando se afasta) -
é a velocidade do som no ar (aproximadamente 343 m/s) -
é a velocidade da fonte (estudante)
Vamos resolver essas duas equações para encontrar
e
.
Passo 3
Vamos assumir que sem movimento, a frequência real do grito do estudante é
.
Temos duas equações:
-
(quando se aproxima) -
(quando se afasta)
Vamos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar
:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Multiplicando cruzado:
Expandindo:
Calculando os produtos:
Agora, vamos isolar
:
Passo 5
Então, a velocidade da queda do estudante é aproximadamente 8,89 m/s.
Passo 6
Agora, na parte (b), queremos calcular o número de batimentos por segundo que o estudante ouve durante a queda. Batimentos acontecem quando duas ondas de frequências ligeiramente diferentes se sobrepõem, criando uma nova onda com frequência igual à diferença entre as frequências originais.
Como o estudante está ouvindo o eco do seu próprio grito, a frequência ecoada será a mesma que ele está emitindo, mas com o Efeito Doppler aplicado duas vezes (ida e volta).
A frequência do eco quando ele está em movimento descendente será:
A frequência original que ele emite é
. Então, a diferença de frequência será:
Passo 7
Usando a velocidade que encontramos,
m/s, e
m/s, vamos calcular
:
Primeiro, encontramos
a partir de uma das equações anteriores. Vamos usar:
Agora, calculamos
:
A diferença de frequência é:
Passo 8
Portanto, o número de batimentos por segundo que o estudante ouve é aproximadamente 20,5 batimentos por segundo.
Passo 9
Na parte ©, queremos saber o número de batimentos por segundo que o diabo ouve depois que o estudante passa por ele. Agora, o estudante está se afastando, então o Efeito Doppler será diferente.
A frequência que o diabo escuta quando o estudante está se afastando é
Hz, e a frequência do eco será:
A diferença de frequência será:
Passo 10
Vamos calcular
:
A diferença de frequência é:
Resposta
(a) A velocidade da queda do estudante é aproximadamente 8,89 m/s.
(b) O número de batimentos por segundo que o estudante ouve durante a queda é aproximadamente 20,5 batimentos por segundo.
© O número de batimentos por segundo ouvidos pelo diabo depois que o estudante passa por ele é aproximadamente 22,4 batimentos por segundo.