Dois alunos de cálculo 3 afirmaram o seguinte:
O aluno A : O limite lim (x, y) (0,0) x^2025+y^2025x^2+y^2=lim (x, y) (0,0)[x^2025x^2+y^2+y^2025x^2+y^2]=0 .
O aluno B : O limite lim (x, y) (0,0) x^3 y^4raizx^2+y^2 não existe, pois a função g dada por g(x, y)=yraizx^2+y^2 não é limitada.
Quais as afirmações estão corretas ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre limites de funções de duas variáveis, que faz parte do conteúdo de Cálculo 3. Precisamos analisar as afirmações de dois alunos, o A e o B, sobre certos limites quando as variáveis x e y se aproximam de zero. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular limites em várias variáveis e entender quando esses limites existem ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que o Aluno A disse:
lim (x, y) (0,0) x^2025+y^2025x^2+y^2 = 0
Como resolver:
  1. Entender os termos: No numerador, temos x^2025 e y^2025 , que são potências de x e y muito altas. No denominador, temos x^2 + y^2 .
  2. Analisar o comportamento: Quando x e y se aproximam de zero, x^2025 e y^2025 tendem a zero muito mais rápido que x^2 e y^2 , porque a potência é maior.
  3. Conclusão: Como os termos do numerador são muito menores que os do denominador perto de zero, o valor da fração inteira tende a zero.
Portanto, a afirmação do Aluno A está correta.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que o Aluno B afirmou:
lim (x, y) (0,0) x^3 y^4raizx^2+y^2 não existe, pois g(x, y)=yraizx^2+y^2 não é limitada ããé
Como resolver:
  1. Entender os termos: A função em questão é x^3 y^4raizx^2+y^2 . O aluno relata que o limite não existe porque uma função auxiliar g(x, y) = yraizx^2+y^2 não é limitada.
  2. Verificar a função g(x, y) : Vamos analisar g(x, y) . O valor absoluto de g é:
|g(x, y)| = | yraizx^2+y^2 | <= 1
Isso porque |y| <= raizx^2 + y^2 . Logo, g(x, y) é limitada, chegando no máximo a 1.
  1. Calcular o limite da função original: Vamos usar coordenadas polares para simplificar:
x = r costheta e y = r sintheta
Substituindo na função:
(r costheta)^3 (r sintheta)^4r = r^7 cos^3theta sin^4thetar = r^6 cos^3theta sin^4theta
Quando r 0 , r^6 0 , independentemente de theta . Portanto, o limite é 0.
  1. Conclusão: O Aluno B errou na justificativa e no resultado. O limite existe e é igual a zero.

Resposta

Apenas a afirmação do Aluno A está correta. O Aluno B está errado tanto na justificativa, pois a função g(x, y) = yraizx^2+y^2 é limitada, quanto na conclusão, já que o limite lim (x, y) (0,0) x^3 y^4raizx^2+y^2 = 0 existe.

Exercícios relacionados