Dois alunos de cálculo 3 afirmaram o seguinte:
O aluno : O limite .
O aluno : O limite não existe, pois a função dada por não é limitada.
Quais as afirmações estão corretas ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre limites de funções de duas variáveis, que faz parte do conteúdo de Cálculo 3. Precisamos analisar as afirmações de dois alunos, o A e o B, sobre certos limites quando as variáveis e se aproximam de zero. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular limites em várias variáveis e entender quando esses limites existem ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que o Aluno A disse:
Como resolver:
Entender os termos: No numerador, temos e , que são potências de e muito altas. No denominador, temos .
Analisar o comportamento: Quando e se aproximam de zero, e tendem a zero muito mais rápido que e , porque a potência é maior.
Conclusão: Como os termos do numerador são muito menores que os do denominador perto de zero, o valor da fração inteira tende a zero.
Portanto, a afirmação do Aluno A está correta.
Passo 3
Agora, vamos analisar o que o Aluno B afirmou:
Como resolver:
Entender os termos: A função em questão é . O aluno relata que o limite não existe porque uma função auxiliar não é limitada.
Verificar a função : Vamos analisar . O valor absoluto de é:
Isso porque |y| <= raizx^2 + y^2 . Logo, g(x, y) é limitada, chegando no máximo a 1.
Calcular o limite da função original: Vamos usar coordenadas polares para simplificar:
Quando r 0 , r^6 0 , independentemente de theta . Portanto, o limite é 0.
Conclusão: O Aluno B errou na justificativa e no resultado. O limite existe e é igual a zero.
Resposta
Apenas a afirmação do Aluno A está correta. O Aluno B está errado tanto na justificativa, pois a função g(x, y) = yraizx^2+y^2 é limitada, quanto na conclusão, já que o limite lim (x, y) (0,0) x^3 y^4raizx^2+y^2 = 0 existe.