O valor médio de uma função f em uma regiāo R é definido por
Med(f, R)=1Area(R) integralegral duplaR f(x, y) d x d y
Podemos afirmar que o valor médio da funçāo f(x, y)=y^2 na regiāo 4 x^2+y^2 <= 4 é igual a:
a) 1
b) 4 pi3
c) 12
d) pi
e) pi4

Passo 1

Beleza, o enunciado pede o valor médio da função
f(x,y)=y^2
na região
R=(x,y)mid 4x^2+y^2<=4
Para isso precisamos de duas coisas principais: a área de R e a integral dupla de y^2 sobre R. Vou usar uma mudança de variável que transforma essa elipse num disco unitário em coordenadas polares ajustadas.

Passo 2

Calcula-se primeiro a área de R. A desigualdade
4x^2+y^2<=4
é equivalente a
x^21^2+y^22^2<=1,
ou seja, uma elipse de semi-eixos a=1 e b=2. Logo
Area(R)=pi,a,b=picdot1cdot2=2pi

Passo 3

Fazemos a mudança
x=rcostheta, y=2rsintheta,
com ,0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi. O jacobiano dessa transformação é
J = detpartial(x,y)partial(r,theta) = 2r
Assim o disco unitário em (r,theta) cobre exatamente a elipse R.

Passo 4

Em (r,theta) a integral dupla fica
integral duplaRy^2,dx,dy =integral0^2piintegral0^1l(2rsinthetar)^2,(2r),dr,dtheta =integral0^2piintegral0^18,r^3sin^2theta,dr,dtheta
Integramos primeiro em r:
integral0^1r^3,dr=14,
e depois em theta:
integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi
Logo
integral duplaRy^2,dx,dy =8cdot14cdotpi =2pi

Passo 5

O valor médio é
Med(f,R) =1Area(R)integral duplaRy^2,dx,dy =12pi,l(2pir) =1

Resposta

a) 1

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