O valor médio de uma função
em uma regiāo
é definido por
Podemos afirmar que o valor médio da funçāo
na regiāo
é igual a:
a) 1
b)
c)
d)
e)
a) 1
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede o valor médio da função
na região
Para isso precisamos de duas coisas principais: a área de
e a integral dupla de
sobre
. Vou usar uma mudança de variável que transforma essa elipse num disco unitário em coordenadas polares ajustadas.
Passo 2
Calcula-se primeiro a área de
. A desigualdade
é equivalente a
ou seja, uma elipse de semi-eixos
e
. Logo
Passo 3
Fazemos a mudança
com
e
. O jacobiano dessa transformação é
Assim o disco unitário em
cobre exatamente a elipse
.
Passo 4
Em
a integral dupla fica
Integramos primeiro em
:
e depois em
:
Logo
Passo 5
O valor médio é
Resposta
a) 1