Questão 1. Em cada item, determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, encontre a solução.
1+(x / y-sen y) d yd x=0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que tá rolando aqui. A gente tem uma equação diferencial que precisa descobrir se ela é exata. Se for exata, a gente também vai encontrar a solução dela. A matéria que estamos usando é sobre Equações Diferenciais Exatas, e pra resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação e verificar uma condição específica de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação pra colocar na forma padrão. A equação que temos é:
1 + (xy - sin y) dydx = 0
Vamos colocar tudo em um lado igual a zero e organizar os termos de dx e dy:
1 cdot dx + (xy - sin y) cdot dy = 0
Agora, identificamos as funções M(x, y) e N(x, y):
M(x, y) = 1
N(x, y) = xy - sin y

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, a gente precisa checar se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x. Ou seja:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando as derivadas:
partial Mpartial y = 0
partial Npartial x = 1y

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas:
0 neq 1y
Como partial Mpartial y não é igual a partial Npartial x, a equação NÃO é exata.

Resposta

A equação diferencial dada não é exata.

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