Seja o retângulo R=[-1,1] times[0,2] e considere as funçōes P e Q definidas por P(x, y)=x^2+arctan (e^x^2)+x y+y e Q(x, y)=(cos y^2) e^arctan y^2+2 x y. O valor c in R tal que integralegral duplaR(c partial Qpartial x-partial Ppartial y) d y d x=20 é igual a:
a) c=-3;
b) c=-2;
c) c=0;
d) c=2;
e) c=3.

Passo 1

O enunciado dá o retângulo R=[-1,1]times[0,2] e pede o valor de cinR tal que
integral duplaRl(c,partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dy,dx = 20
O conteúdo usado será cálculo de derivadas parciais e integração dupla (Teorema de Fubini).

Passo 2

Calcular partial Qpartial x. Como
Q(x,y) = (cos y^2),e^arctan y^2 + 2xy,
apenas o termo 2xy depende de x. Logo,
partial Qpartial x = 2y

Passo 3

Calcular partial Ppartial y. Como
P(x,y) = x^2 + arctanl(e^x^2r) + xy + y,
os dois primeiros são constantes em y, e dos dois últimos
partialpartial y(xy) = x, partialpartial y(y) = 1
Portanto,
partial Ppartial y = x + 1

Passo 4

Montar o integrando:
c,partial Qpartial x - partial Ppartial y = c,(2y) - (x+1) = 2c,y - x - 1
Pelo Teorema de Fubini,
integral duplaR(2c,y - x - 1),dy,dx = integralx=-1^1integraly=0^2(2c,y - x - 1),dy,dx

Passo 5

Fazer a integral interna em y:
integral0^2(2c,y - x - 1),dy = 2cintegral0^2y,dy ;-;(x+1)integral0^21,dy = 2ccdot2^22 ;-;(x+1)cdot2 = 4c - 2(x+1)
Logo a integral vira
integral-1^1l(4c - 2x - 2r),dx

Passo 6

Calcular a integral em x:
integral-1^1(4c - 2x - 2),dx = integral-1^1(4c - 2),dx ;-;2integral-1^1x,dx = (4c - 2)cdot2 ;-;2cdot0 = 8c - 4
Portanto
integral duplaRl(c,partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dy,dx = 8c - 4

Passo 7

Impor o valor pedido:
8c - 4 = 20 Longrightarrow 8c = 24 Longrightarrow c = 3

Resposta

c = 3.

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